Исследование операций (обучающая система) / chapter2 / ReshGrafZLP

Математическая модель Решение задачи линейного программирования графическим методом

         При математическом моделировании реальных процессов и явлений часто получают так называемую «задачу математического программирования». В общем виде эта задача формируется следующим образом: найти точку x=(x1,x2,...,xn), удовлетворяющую системе ограничений

Φ(x1,x2,...,xn)≥bi ; i=1..m.     (1)

и доставляющую целевой функции

F(x1,x2,...,xn)   (2)

минимальное (максимальное) значение, Φ(x), i=1..m и F – произвольные. Среди ограничений (1) могут быть и такие, которые задают требование не отрицательности значений переменных xi .

Геометрическая интерпретация показывает, что решением ЗЛП может быть крайняя точка допустимой области. Крайними или угловыми точками выпуклого множества называются точки, не являющиеся выпуклой комбинацией двух различных точек этого множества.В двумерном случае это будут вершины многоугольника, а в n-мерном случае – вершины n-мерного многогранника.

Теорема: Пусть допустимое множество ЗЛП – является многогранником. Тогда целевая функция достигает своего минимума в вершине многогранника. Если линейная форма принимает минимальное значение более чем в одной точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся их выпуклой комбинацией.

Таким образом, чтобы решить ЗЛП, достаточно сделать перебор крайних точек многогранника решений и выбрать ту вершину, в которой целевая функция будет принимать минимальное (максимальное) значение. Рассмотрим теперь ход выполнения работы.