ОТНОШЕНИЯ РАЗЛИЧИЯ И

РАССТОЯНИЯ (МЕТРИКИ)

Симметричное и антирефлексивное отношение называется отношением различия. Транзитивное отношение различия есть

расстояние (метрика).

Отметим, что для расстояний берется условие отрицательной транзитивности, обобщающее неравенство треугольника.

ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ И ПОРЯДКА

Антисимметричные и рефлексивные отношения называются

отношениями нестрогого предпочтения, а антисимметричные и антирефлексивные отношения – отношениями строгого предпочтения.

Транзитивные отношения предпочтения называются нестрогими и строгими порядками соответственно.

Если отношение порядка удовлетворяет к тому же условию полноты, то оно называется отношением полного порядка.

Полные строгие порядки образуют иерархии.

Бинарное отношение есть отношение порядка , если оно обладает следующими свойствами:

(1)рефлексивность: х х, x X

(2)транзитивность: если х у и у z, то х z, x, y, z X.

(3)антисимметричность: если х у и у х, то х = у, x, y X.

Бинарное отношение называется отношением предпорядка (квазипорядка), если оно удовлетворяющее следующим условиям:

(2) рефлексивность: х х, x X

(3) транзитивность: если х у и у z, то х z, x, y, z X.

КЛАССИФИКАЦИОННАЯ ТАБЛИЦА ОТНОШЕНИЙ

УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО

Частично упорядоченное множество есть пара

POSET = X, ,

где X – множество,

– отношение частичного порядка

(антисимметричное: если x y и y x, то x = y, x,y X, x y рефлексивное: x x, x X

транзитивное: если x y и y z, то x z, x,y,z X ).

Частично упорядоченное множество становится

цепью или линейно упорядоченным множеством,

если помимо условий антисимметричности,рефлексивности и транзитивности выполняется еще и условие полноты

(линейности): либо x y, либо y x, x,y X

РЕШЕТКА

Решеткой L называется такое частично упорядоченное множество, в котором два любых элемента x и y имеют

точную нижнюю грань (пересечение) inf (x,y) = x y

и точную нижнюю грань (объединение) sup (x,y) = x y.

L = X, , inf, sup , Любую решетку можно представить как алгебру

L = X, , ,

для которой выполняются следующие законы

Таким образом, решетки представляют собой примитивный класс универсальных алгебр с двумя бинарными операциями.

Решетка называется ограниченной, если в ней выполняются требования: существования наименьшего элемента x 0 = 0 и x 0 = x

и наибольшего элемента x 1 = x и x 1 = 1.

Ограниченные решетки называются алгебрами (в узком смысле слова)

СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЕ И ФОРМАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ

5. Понятие алгебраической системы как тройки

AS = X, , П ,

где X – непустое множество, называемое носителем или основой алгебраической системы,– множество операций, П – множество предикатов.

Заметим, что в могут входить константы, которые рассматриваются как нульместные функции. Объединение множеств операций и предикатов П называется сигнатурой.