ИНТЕРПРЕТАЦИИ МУЛЬТИМНОЖЕСТВА
1.Множество с различной частотой встречаемости элементов
2.Множество, состоящее из n экземпляров («точных копий») каждого типа x X (X – множество типов).
3.Взвешенное множество, когда кратность отождествляется с весом n=w.
А={w1 x1, w2 x2,…, wn xn}, где wi= wA(x), а выражение wi xi можно понимать как алгебраическое произведение элемента xi и его веса wi,
i=1,…,n. |
Векторы и матрицы также |
n |
могут использоваться для |
наглядного представления |
|
|
мультимножеств |
|
Петровский А.Б. |
|
Пространства множеств и |
|
мультимножеств. – М.: |
|
Едиториал УРСС, 2003. |
x
НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ НЕСТАНДАРТНЫХ МНОЖЕСТВ
Неполностью (избыточно) определенные множества
X = X +, X , X 0 , где X + = {x x X }, X = {x x X }, X 0 = {x x ?X },
1.Переопределенное множество – это множество
сизбыточной и противоречивой информацией относительно принадлежности его элементов
+1, если x A;
А = {x xi А, xj А, xk( )А} f(x) = 0.5, если x( )А; 0, если x А.
2. Недоопределенное множество – это множество с неполной информацией относительно принадлежности его элементов
|
+1, если x A; |
А = {x xi А, xj А, xk ( )А} f(x)= |
0.5, если x( )А; |
0, если x А.
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОТНОШЕНИЙ
Классическое n-арное отношение определяется как подмножество декартова произведения произвольных
n множеств:
R X1 X2 … Xn.
На практике часто ограничиваются рассмотрением бинарных отношений.
1. Пусть X и Y – два различных множества. Тогда подмножество
декартова произведения R X Y называется бинарным отношением в широком смысле или соответствием.
2. Пусть имеем декартово произведение множества X на себя. Тогда бинарное отношение определяется формулой R X X.
Другая запись бинарного отношения: x r y
1, если x=y |
называется единичным, т.е. играет роль |
Отношение E (x,y) = |
|
0, если x y |
единицы для операции композиции |
|
|
|
E R = R E = R. |
Обратное отношение определяется как R 1 (x,y) = R (y,x), |
x,y X |
МАТРИЦА ОТНОШЕНИЙ
Пусть X есть n-элементное множество, а R – отношение на этом множестве. Перенумеруем элементы множества X целыми числами от 1 до n.
Построим теперь квадратную матрицу размером n n.
Ее i-я строка соответствует i-му элементу множества X, а j-й столбец – j-му элементу множества X. Обозначим элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца через rij.
Тогда матрица бинарного отношения задается следующим образом
1, если выполняется R(хi, xj)
fR= rij.=
0 в противном случае,
Матрицу, составленную из элементов rij, принято обозначать rij .
Она содержит всю информацию о том, для каких пар элементов из X выполнено отношение R.
Итак, отношение R на конечном множестве X можно задать его матрицей rij .Матрица, для которой rij = 0 при всех i и j, задает пустое
СВОЙСТВА ОТНОШЕНИЙ
|
Пары свойств: |
||
Свойство |
– |
Антисвойство |
|
I. Рефлексивность: |
I*. Антирефлексивность: |
||
E R или R(x,x) = 1, x X |
|||
R E = или R(x,x) = 0, x X |
|||
|
|
||
Слабая рефлексивность: |
Слабая антирефлексивность: |
||
R(x,x) R(x,y), x,y X |
|||
R(x,x) R(x,y), x,y X |
|||
|
|
||
II. Симметричность |
II*. Антисимметричность: |
||
R = R 1 или R(x,y) = R(y,x), x,y X |
R R 1 E или R(x,y) R(y,x) = 0, |
||
|
|
x,y X, x y |
|
III. Транзитивность: |
II**. Асимметричность: |
||
R R 1 = или R(x,y) R(y,x) = 0, |
|||
|
|
||
R R R – положительная |
x,y X, |
||
R R R – отрицательная |
|
||
IV. Полнота: |
|
|
|
R R 1 = X или |
R(x,y) R(y,x) = 1, x,y X |
||
КОММЕНТАРИИ К СВОЙСТВАМ
ОТНОШЕНИЙ: РЕФЛЕКСИВНОСТЬ - АНТИРЕФЛЕКСИВНОСТЬ
I. Рефлексивность: E R, |
fR (x, х) = 1, x X. |
Рефлексивное отношение всегда выполняется между объектом и им самим.
Рефлексивное отношение можно представить матрицей, у которой на главной диагонали стоят единицы. В графе, изображающем рефлексивное отношение, каждая вершина имеет петлю.
I*. Антирефлексивность: R E = , |
fR (x, х) = 0, x X |
Антирефлексивное отношение выполняется лишь для различных, несовпадающих объектов. Матрица, представляющая антирефлексивное отношение, имеет на главной диагонали нули,
а в соответствующем графе петли непременно отсутствуют.
КОММЕНТАРИИ К СВОЙСТВАМ
ОТНОШЕНИЙ: СИММЕТРИЧНОСТЬ - АНТИСИММЕТРИЧНОСТЬ
II.Симметричность: R = R–1, x, y X.
Свойство симметричности в теории отношений означает одновременное выполнение как прямого отношения R(x,y), так и обратного отношения R(y,x).
В матрице, представляющей симметричное отношение, выполняется принцип зеркального отображения элементов относительно главной диагонали rik= rki. В соответствующем графе вместе с каждой стрелкой,
идущей из вершины x в вершину y, имеется и аналогичная, противоположно направленная стрелка. Поэтому симметричное отношение можно изображать неориентированным графом.
II*. Асимметричность: R R–1 = , x, y X.
Из двух соотношений xRy и yRx, по меньшей мере, одно не выполнено. Для матричных элементов имеем равенство rik rki = 0..
Если отношение R асимметрично, то оно и антирефлексивно.
Этот факт легко показать, подставив в rik rki = 0, i=k; получаем rkk2= 0, т.е. rkk= 0.
КОММЕНТАРИИ К СВОЙСТВАМ
ОТНОШЕНИЙ: ТРАНЗИТИВНОСТЬ
III.Транзитивность: R R R или R2 R, x, y, z X.
Условие транзитивности означает, что если справедливы условия R(x,y) и R(y,z), то выполняется и R(x,z).
Это условие можно наглядно представить на графе отношения R.
Если точки x и z соединены путем, проходимым по направлению стрелок, то существует стрелка, ведущая непосредственно из вершины x в вершину z. Условие 3) определяет положительную транзитивность.
В свою очередь, отрицательная транзитивность задается в виде
R R R |
или R2 R, |
x, y, z X. |
|
|
|
Замечание. Для рефлексивного отношения R транзитивность эквивалентна равенству R2=R. По индукции отсюда следует: если R(x,y1) , R(y1,y2 ) , R(yn-1,z) то
R(x,z).
Транзитивным замыканием отношения R называется отношение, определяемое
: |
^ |
следующим образом |
|
R = R1 R2 Rk ...,
где отношения Rk определяются рекурсивно: R1=R, R2=R R, Rk=Rk-1 R.
^
ОТНОШЕНИЯ СХОДСТВА И ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Симметричное и рефлексивное отношение называется отношением
сходства.
Транзитивное отношение сходства есть отношение эквивалентности.
На основе отношения эквивалентности получают классы эквивалентности и разбиения.
Отношение эквивалентности E можно представить с помощью отображения из
X в 2X, где 2X– множество всех подмножеств универсума X. Это отображение [ ]E: X 2X задается в виде [x]E = {y X E(x,y)}.
Подмножество [x]E есть класс эквивалентности, содержащий x.
Если какие-то объекты принадлежат к одному и тому же классу эквивалентности, то они считаются неразличимыми.
Семейство всех классов эквивалентности называется фактор-множеством и обозначается U/E={[x]E x U}.
Оно определяет разбиение универсального множества X, т.е. семейство попарно неперекрывающихся подмножеств, объединение которых есть универсальное множество. 
Имеется взаимно-однозначное соответствие между отношениями эквивалентности и разбиениями множества.
ПРИБЛИЖЕННОЕ МНОЖЕСТВО
Пусть Х – множество, а R X X – |
Pawlak Z. Rough Sets // |
|
International Journal of |
||
отношение неразличимости |
Computer and Information |
|
Sciences. – 1982. – Vol.11. – |
||
(эквивалентности). |
||
P.341-356. |
Тогда пара =(Х, R) образует пространство приближений.
Классы эквивалентности по отношению R называются элементарными множествами в пространстве приближений, а любая совокупность элементарных множеств образует составное множество в .
Произвольное подмножество A X можно точно определить на основе имеющейся информации, т.е. классов эквивалентности.
Вместо этого каждое множество заменяется двумя множествами, которые называются нижним приближением RХ = {x x R X} (наибольшее составное
множество, содержащееся в Х) и верхним приближением RХ = {x x R X} (наименьшее составное множество,
содержащее X) соответственно.