Теоретико – множественные понятия встречаются практически во всех разделах современной математики и составляют ее фундамент. Язык теории множеств является средством, с помощью которого может быть построен школьный курс математики. Теоретико – множественный подход способствует развитию общей культуры учащихся, помогает видеть связи между явлениями, мыслить «экономно». Таким образом, теоретико – множественный подход при изучении школьного курса математики создает благоприятные условия для целенаправленного изучения языка математики, способствует повышению научности и четкости в изложении материала, содействует выявлению связей между различными разделами математики, помогает развитию математической культуры учащихся.
Основным средством формирования теоретико – множественных понятий и их применения при изучении программного материала является специальный подбор системы управлений и задач. Предлагаемое пособие для учащихся 6 классов по теме «Множества» содержит как практический, так и теоретический материал. Рассматриваемая система упражнений рассчитана на вооружение учащихся общими методами рассуждения, активизацию их мыслительной деятельности. Значительное место в этой системе занимают упражнения на применение теоретико – множественного подхода при решении упражнений, простейших неравенств, изучении вопросов делимости чисел.
§ 1. Понятие множества
Одно из основных понятий математики – множества. Когда говорят о множестве , то объединяют в одну группу предметы и понятия, по какому либо признаку и рассматривают эту группу объектов как одно целое.
Основатель теории множеств, немецкий математик Георг Кантор (1845-1918 г.г.) писал: «Множество есть многое, мыслимое как единое целое».
Слово множество в обычном понимании всегда связывается с большим числом предметов. Например, мы говорим, что в лесу множество деревьев, но если перед домом два дерева, в повседневной речи не говорят, что перед домом «множество» деревьев.
Математическое понятие множества не связывается с большим числом предметов. В математике удобно рассматривать множества, содержащие три, два или один предмет и даже множество, не содержащее ни одного предмета. Например, множество сооружений на Земле высотой более 500 м, состоит из одного элемента – телевизионной башни в Останкино, а множество сооружений, высотой более 800 м, не содержит ни одного элемента.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø.
Пустым множеством является:
● множество млекопитающих, имеющих шесть ног;
● множество пятилетних мастеров спорта;
● множество правильных треугольников, у которых углы не равны;
● множество чисел, которые больше 10, но меньше 1.
Произвольные множества обозначают большими латинскими буквами А, В, С…
§ 2. Элементы множества
Об объектах, составляющих множество, говорят, что они принадлежат этому множеству или является его элементами.
Элементы множества обозначают малыми латинскими буквами b, c, k … или какой – нибудь одной буквой с индексом, например, b1, b2, b3 …
Предложение а принадлежит множеству А или а – элемент множества А записывают в виде а ∈ А.
Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным, а если в нем бесконечно много элементов, то бесконечным. Так, множество делителей числа 568 конечно, а множество точек на отрезке бесконечно.
§ 3. Способы задания множеств
Множество может быть задано непосредственным перечислением всех его элементов (в произвольном порядке). В этом случае названия всех элементов множества записывают в строчку, отделяют между собой знаком ; и заключают в фигурные скобки.
Например, (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10) – множество цифр десятичной системы исчисления {a; b; c} – множество, состоящее из элементов a, b, c. Множество {a; b; c} можно записать и так: {a; c; b} или {c; a; b}, или перечислив элементы в каком – либо другом порядке. Но этот способ применим только к конечным множествам, да и то далеко не ко всем. Например, хотя множество всех рыб в океане конечно, вряд ли его можно задать списком. А уж бесконечные множества никак нельзя определить с помощью списка – попробуйте, например, составить список всех натуральных чисел.
Имеется другой, универсальный способ задания множеств (в том смысле, что этим способом может быть задано не только конечное, но и бесконечное множество).
Множество (конечное или бесконечное) может быть задано указанием свойства, которым обладают все элементы этого множества и не обладает ни один объект, не являющийся его элементом.
Данное свойство называют характеристическим свойством этого множества. Например, множество {0; 1 ; 2; 3} может быть задано как множество всевозможных остатков от деления любого натурального числа на 5.
Одно и то же множество может быть задано различными характеристическими свойствами. Так, например, множество правильных треугольников – это множество треугольников, в каждом из которых стороны равны между собой.
Множество элементов, определенных характеристическим свойством, обозначают так: в фигурных скобках пишут сначала элементы множества (его буквенное обозначение) затем после вертикальной черты записывают характеристическое свойство. Например, запись А {х | х – 2k, k – целое} означает, что А – множество четных чисел.