2.6.5. Распределение Фишера.
Во многих задачах математической статистики, в особенности в дисперсионном анализе, важную роль играет распределение Фишера
(F-распределение), названное так по фамилии известного английского математика Р.А. Фишера (1925 г.)
Если U
и V
независимые случайные величины,
распределенные по закону
со степенями свободы
и
,
то величина
(*)
распределена по закону Фишера со степенями свободы и . Принимают, что U >V, так что переменная F принимает значения не меньшие 1.
На практике часто применяется случайная величина
),
(**)
Распределенная
по закону Стьюдента с числом степеней
свободы
(для большей дисперсии) и
(для меньшей дисперсии). Здесь
.
Покажем, что случайная величина (**) представляет собой частный случай случайной величины (*). Перепишем (**) в виде
.
Случайные переменные
и
распределены по закону
со степенями свободы
и
.
Таким образом мы получили выражение
(*).
Величина F имеет непрерывную функцию распределения и зависит только от чисел степеней свободы и . Функция распределения величины F при небольшом объеме выборки n приближается к кривой нормального распределения.
Наиболее часто
функция F
распределения табулирована для 5%
(доверительная вероятность 0,95) и 1%
(доверительная вероятность 0,99) уровней
значимости и чисел степеней свободы
для большей дисперсии и
для меньшей дисперсии (см. приложение
2). На практике, в зависимости от
поставленной задачи, при одном и том же
значении доверительной вероятности
используют распределение Фишера с
односторонней (рис. 20) и двухсторонней
(рис. 21) критическими областями. Для
односторонней критической области по
таблицам определяют критическое значение
Fkp,
соответствующее выбранному уровню
значимости
при степенях свободы
и
,
для которого выполняется условие
.
В случае двухсторонней критической
области критическим значением
и
соответствует вероятности
и
.
На практике при двухсторонней критической
области ограничиваются определением
величины
,
для уровня значимости вдвое меньше
заданного -
.
Рис. 20. Функция распределения Рис. 21. Функция распределения
Фишера с односторонней Фишера с двухсторонней
критической областью. критической областью.
Рассмотрим подробнее построение критических областей распределения Фишера. При использовании случайной величины F в качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.
Первый случай:
Нулевая гипотеза
.
Конкурирующая гипотеза
.
В этом случае
строят одностороннюю, а именно
правостороннюю, критическую область
(рис. 20) исходя из требования, чтобы
вероятность попадания величины F
в эту область, в предположении
справедливости нулевой гипотезы, была
равна принятому уровню значимости р.
Тогда правосторонняя критическая
область определяется неравенством
.
Значение
находят по заданному уровню значимости
при
степенях свободы
и
.
Второй случай:
Нулевая
гипотеза
.
Конкурирующая гипотеза
.
В этом случае
строят двухстороннюю критическую
область (рис.21) исходя из требования,
чтобы вероятность попадания величины
F
в каждый из двух интервалов критической
области, в предположении справедливости
конкурирующей гипотезы, была равна
.
Тогда критическая область определяется:
,
;
область принятия нулевой гипотезы:
.