2.6.4. Распределение Стьюдента.
В биологических исследованиях нередко приходится встречаться с выборочными совокупностями, состоящими из очень ограниченного количества вариант или наблюдений. Возникает вопрос, каковы в этих случаях закономерности распределения выборочных средних арифметических. Ответ на него дал английским математик В. Госсет, который писал под псевдонимом Стьюдент. Поэтому полученное им распределение вероятностей получило название распределения Стьюдента.
Пусть
- нормально распределенные независимые
случайные величины с математическим
ожиданием
и дисперсией
.
Если
и
то случайная переменна
(*)
распределена по закону Стьюдента с n-1 степенями свободы. Здесь
-
оценка среднего квадратического
отклонения выборочной средней. Легко
видеть, что переменная Т
принципиально сходна с формулой
нормированного отклонения выборочной
средней от генеральной при нормальном
распределении для больших выборок:
Распределение Т
отличается
только при малом объеме выборки. Так
как
,
с увеличением числа n
получаем равенство
и разница между распределением Т
и нормальным практически исчезает.
В общем случае случайная величина Т определяется как
(**)
где Z – нормальная
случайная величина, причем M(Z)=0,
а
V – независимая от Z
величина, которая распределена по закону
с
степенями свободы. Величина Т
распределена по закону Стьюдента с
степенями свободы. Ее возможные значения
обозначают через t. Поэтому
распределение Стьюдента иногда называют
t- распределением.
Покажем, что случайная величина (*) представляет собой частный случай случайной величины Т, распределенной по закону Стьюдента. Представим выражение (*) в следующем виде:
Величина
имеет нормальное распределение, величина
распределена по закону
и
степенями свободы. Таким образом, мы
получили случайную величину (**).
Распределение
Стьюдента зависит только от числа
степеней свободы
.
С ростом числа степеней свободы
распределение Стьюдента приближается
к нормальному, и уже при
практически не отличается от него. На
рис. 18 на фоне нормального распределения
показаны кривые распределения Стьюдента
при различных степенях свободы.
Математическое
ожидание М(Т)
распределения
Стьюдента при
равно
0, дисперсия
при
равна
.
Для практического
использования t
– распределения были составлены рабочие
таблицы, по которым можно определять
критические значения
,
соответствующие данной доверительной
вероятности
и числу степеней свободы
(см. приложение 5), для которой выполняется
условие
(вероятность того, что случайная величина
t
по абсолютной величине меньше критического
значения
равна
доверительной вероятности
).
Значение
определяет границу двусторонней
критической области -
.
Так, например, если выборка включает 15
наблюдений (число степеней свободы
k=n-1=14)
и по условиям опыта требуется доверительная
вероятность 0,95 (уровень значимости
0,05), то величина t
должна быть менее 2,14 и более -2,14. На рис.
19 показан графический смысл этих величин.
Замечание. Следует иметь в виду, что в случае односторонней критической области значения уровня значимости , указанные в верхней части таблицы, должны быть вдвое меньше.
Рис. 18. Распределение Стьюдента в зависимости от числа свободы k;
сравнение со стандартизованным нормальным распределением.
Рис. 19. 95% доверительная вероятность и 5% уровень значимости для распределения Стьюдента.