Задача с3

Однородный стержень весом P = 24 Н прикреплен шарнирно к невесомым ползунам 1 и 2 (рис С3.0 – С3.9 табл. С3). Коэффициенты трения ползунов о направляющие, вдоль которых они могут скользить, равны соответственно f₁ и f₂ . К ползунам приложены силы Q₁ и Q₂, показанные на рисунках. Механизм расположен в вертикальной плоскости.

Определить величину, указанную в таблице в строке «Найти», где обозначено: (или ) – наименьшее значение силы Q₁ (или Q₂), при котором имеет место равновесие; (или ) – наиболь­шие значения тех же сил, при которых сохраняется равновесие; (или ) – наименьшее значение коэффициента трения, при котором сохраняется равновесие.

Таблица С3

Номер условия	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Q1, Н Q2, Н f1 f2 Найти	60 - 0 0,2	- 80 0,15 0	50 60 0 -	60 - 0,2 0	- 80 0 0,15	- 100 0,2 0	80 - 0 0,15	60 50 - 0	- 100 0 0,2	80 - 0,15 0

Указания. Задача С3 – на равновесие тела под действием пло­ской системы сил при наличии трения скольжения. При решении за­дачи следует рассмотреть предельное положение равновесия, когда F_ТР = fN. Уравнения равновесия будут решаться проще, если их составить в виде уравнений моментов относительно точек, где пересе­каются линии действия двух неизвестных сил (вместо одного из та­ких уравнений можно составить уравнение проекций на ось, перпен­дикулярную неизвестной силе).

Условие f₁ = 0 (или f₂ = u) означает, что ползун 1 (или 2) гладкий; соответствующую силу трения на чертеже не изображать и в уравнения не вводить (введение этой силы с тем, чтобы потом положить j = =0, сильно усложнит решение).

Пример С3. Жесткий угольник ADB весом Р ( ADB = 90°), расположенный в вертикальной плоскости, прикреплен шарнирами к ползунам 1 и 2 (рис. С3). Линия действия силы проходит на расстоянии h от стороны AD, В середине стороны AD приложена горизонтальная сила Q. Коэффициент трения ползуна 1 о направляющие равен f₁, ползун 2 гладкий.

Рис. С3

Дано: Р = 40 Н, BD = b = 0,8 м, h = 0,3 м, а = 0,2 м, f₁, = 0,3. Угол между направляющими 120°.

Определить: – наибольшее значение силы Q, при котором сохраняется равновесие.

Решение. 1. Рассмотрим предельное равновесие угольника, при котором Q = . Изображаем действующие на угольник силы P, Q, нормальные реакции N₁, N₂ и предельную силу трения F_ТР приложенную к ползуну 1.

То, что сила Q имеет наибольшую возможную величину, означает, что при ее дальнейшем увеличении равновесие нарушится и под действием силы Q ползун 1 начнет скользить влево, а ползун 2 – вверх. Следовательно, при равновесии сила F_TP, удерживающая ползун 1 от скольжения влево, направлена вправо (направление силы F_TP при решении подобной задачи надо обязательно установить и показать это направление на рисунке верно).

2. Так как сила трения, выражающаяся через нормальную реакцию, действует лишь на ползун 1, то реакцию N₂ можно не определять и составить только два уравнения равновесии, в которые N₂ не войдет. Для этого проведем сначала линии действия неизвестных реакций N₁ и N₂ до их пересечения в точке Е и составим уравнение , в которое N₁ и N₂ не войдут. Получим, полагая Q = :

, (1)

где DE = b tg30 = 0,46 м. Тогда при заданных значениях h и а уравнение (1) примет вид

,

откуда находим

. (2)

Равенство (2) не может дать F_TP < 0, поскольку направление силы F_TP было заранее установлено и показано на рис. С3 верно. Следовательно, должно быть

> 0,35Р или > 0,45Р. (3)

Для определения N₁, можно составить или уравнение моментов относительно точки, где пересекаются линии действия сил N₂ и F_TP, или уравнение проекций на ось, перпендикулярную N₂. Составим, проведя ось Вх, уравнение . Получим

. (4)

Отсюда, заменяя F_TP его значением (2), найдем окончательно;

. (5)

Для определения учтем, что когда равновесие является предельным, то F_TP и N₁ связаны соотношением

(6)

Подчеркиваем, что в это равенство входят модули сил. В нашем случае |F_TP |= F_TP, так как было установлено, что

F_TP > 0 и дается равенством (2). Но утверждать, что в равенстве (5) N₁ > 0 нет оснований, так как направление N₁, может быть и противоположно показанному на рис. С3. Поэтому рассмотрим оба возможных случая:

а)N₁ > 0 (реакция N₁ направлена так, как показано на рис. С3). Тогда, подставляя в (6) значения F_TP и N₁ из (2) и (5) и учтя, что f = 0,3, получим

,

откуда находим

Н. (7)

б) (направление N₁ противоположно показанному на рис. С3). Тогда и равенство (6) дает

,

откуда

Н. (8)

Из полученных результатов (7) удовлетворяет неравенству (3), а (8) не удовлетворяет. Следовательно, окончательный ответ будет H.

Примечания:

1. Если в задаче требуется найти наименьшее значение Q' силы Q, при котором сохраняется равновесие, то это означает, что при дальнейшем уменьшении силы Q она не удержит угольник в равновесии и под действием силы P ползун 2 начнет скользить вниз, а ползун 1 – вправо; следовательно, в этом случае сила F_ТР, удерживающая ползун 1 от скольжения вправо, будет направлена влево (противоположно показанной на рис. С3). В остальном весь ход решения остается таким же, как в рассмотренном примере.

2. Если в задаче все действующие силы заданы и надо найти наименьший коэффициент трения: , при котором сохраняется равновесие, то силу F_ТР (как и реакции) можно направлять в любую сторону и, составив уравнения равновесия, аналогичные, например, уравнениям (1) и (4) в рассмотренном примере, найти из них F_ТР и N₁. При этом, поскольку действующие силы заданы, для F_ТР и N₁ получатся конкретные числовые значения. Эти значения и следует подставить в равенство (6) и найти из него . Если при расчетах получится F_ТР < 0 или N₁ < 0, то это означает лишь, что направление соответствующей силы противоположно показанному на рисунке, но результат не изменится, так как в (6) входят модули сил.