4. Смешанные краевые условия Рассмотрим краевую задачу
,
(11)
(12)
где
- известные функции,
- заданные постоянные.
Полагаем, что задача (11), (12) имеет единственное решение. Решаем эту задачу методом конечных разностей.
Разобьем
отрезок
на n
равных частей точками
(см. Рис.1). Во внутренних точках отрезка
заменим
и
конечными разностями:
(13)
Погрешность такой замены .
В краевых условиях (12) производные заменим разностями:
(14)
Погрешность этой замены
.
Подставим конечные разности (13), (14) в уравнение (11) и условия (12). Получим систему разностных уравнений
,
где 
или
(15)
или
(16)
где
,
.
Порядок
системы равен
.
Система с трехдиагональной матрицей,
неизвестные
.
Решается система (16) методом прогонки
(*).
Преобладание диагональных элементов при предположениях:
;коэффициент
при
.
Полученное решение системы (16) - разностное (приближенное) решение краевой задачи (11), (12).
Пример 5. Решить краевую задачу
;
;
.
Решение. В уравнении
,
,
,
,
,
,
,
.
Отрезок от 0 до
разобьем на 16 частей
точками
,
,
.
Конечно-разностные уравнения:
,
или
,
i
= 0
,
,
,
.
Система с трехдиагональной матрицей, порядок системы равен 17.
,
,
.
Условия преобладания диагональных элементов (17) выполняются:
,
т.к.
,
,
т.к.
,
,
т.к.
.
Решаем методом прогонки (*, n =17).
Таблица вычислений
|
|
|
|
|
|
Прог-ные к-ты |
Результаты |
|
||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
,T точное |
погреш. |
0 |
0,0000 |
|
-1,0982 |
1,0000 |
0,0000 |
0,9106 |
0,0000 |
0,2425 |
0,23089 |
0,0116 |
1 |
0,0982 |
0,9509 |
-2,0193 |
1,0491 |
0,0068 |
0,9096 |
-0,0059 |
0,2663 |
0,25892 |
0,0074 |
2 |
0,1963 |
0,9509 |
-2,0193 |
1,0491 |
0,0038 |
0,9088 |
-0,0081 |
0,2992 |
0,29550 |
0,0037 |
3 |
0,2945 |
0,9509 |
-2,0193 |
1,0491 |
0,0008 |
0,9082 |
-0,0074 |
0,3382 |
0,33771 |
0,0005 |
4 |
0,3927 |
0,9509 |
-2,0193 |
1,0491 |
-0,0022 |
0,9078 |
-0,0042 |
0,3805 |
0,38295 |
-0,0024 |
5 |
0,4909 |
0,9509 |
-2,0193 |
1,0491 |
-0,0051 |
0,9075 |
0,0010 |
0,4238 |
0,42892 |
-0,0051 |
6 |
0,5890 |
0,9509 |
-2,0193 |
1,0491 |
-0,0081 |
0,9073 |
0,0078 |
0,4660 |
0,47356 |
-0,0076 |
7 |
0,6872 |
0,9509 |
-2,0193 |
1,0491 |
-0,0109 |
0,9071 |
0,0158 |
0,5050 |
0,51504 |
-0,0100 |
8 |
0,7854 |
0,9509 |
-2,0193 |
1,0491 |
-0,0136 |
0,9069 |
0,0248 |
0,5394 |
0,55171 |
-0,0123 |
9 |
0,8836 |
0,9509 |
-2,0193 |
1,0491 |
-0,0162 |
0,9069 |
0,0344 |
0,5674 |
0,58209 |
-0,0147 |
10 |
0,9817 |
0,9509 |
-2,0193 |
1,0491 |
-0,0187 |
0,9068 |
0,0444 |
0,5878 |
0,60483 |
-0,0171 |
11 |
1,0799 |
0,9509 |
-2,0193 |
1,0491 |
-0,0210 |
0,9067 |
0,0546 |
0,5992 |
0,61873 |
-0,0195 |
12 |
1,1781 |
0,9509 |
-2,0193 |
1,0491 |
-0,0230 |
0,9067 |
0,0648 |
0,6006 |
0,62272 |
-0,0221 |
13 |
1,2763 |
0,9509 |
-2,0193 |
1,0491 |
-0,0249 |
0,9067 |
0,0747 |
0,5910 |
0,61582 |
-0,0249 |
14 |
1,3744 |
0,9509 |
-2,0193 |
1,0491 |
-0,0265 |
0,9066 |
0,0843 |
0,5694 |
0,59717 |
-0,0278 |
15 |
1,4726 |
0,9509 |
-2,0193 |
1,0491 |
-0,0278 |
0,9066 |
0,0933 |
0,5350 |
0,56600 |
-0,0310 |
16 |
1,5708 |
-1,0000 |
1,0982 |
|
0,0000 |
|
|
0,4872 |
0,52161 |
-0,0344 |
Точное решение краевой задачи
.
Cледует
отметить большую погрешность численного
решения (до
),
особенно на границах отрезка, что
обусловлено низким (первым) порядком
точности аппроксимации производных
разностями (14) в краевых условиях (12).