Лекции № 1

Методы численного решения дифференциальных уравнений на основе разностных схем

Подавляющее большинство математических моделей физико-химических и химико-технологических систем включают в себя дифференциальные уравнения, описывающие изменение важных параметров изучаемой системы (температуры, давления, концентрации и т.д.) во времени и пространстве. В единичных, наиболее простых случаях дифференциальные уравнения удаётся решить аналитически. В этом случае пользуются численными методами решения дифференциальных уравнений, позволяющими найти численные значения искомого параметра при определённых значениях переменных (времени, координат).

Рекомендуются книги:

1. Годунов С.К., Рябенький В.С. Введение в теорию разностных схем.

2. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы.

3. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем.

4. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики.

5. Яненко Н.Н. Введение в разностные методы математической физики. Ч. 1, 2.

6. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.

1. Типы дифференциальных уравнений

Критерии: по наибольшему порядку производной и количеству независимых переменных (см. таблицу).

по количеству независимых переменных		по наибольшему порядку производной
		1-го порядка	2-го порядка
ОДУ
ДУ в частных производных

u – искомая функция (концентрация, температура и т.д.);

t – время (независимая переменная);

x, y, z – пространственные координаты (независимые переменные);

– частная производная функции u по i-й независимой переменной;

а,  – константы.

2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов

2.1. Разностная аппроксимация производной первого порядка

В основе методов численного решения дифференциальных уравнений лежит преобразование дифференциальной задачи в разностную задачу, называемое аппроксимацией.

Рассмотрим функцию u = u(x) в интервале её изменения x  [a; b].

Разобьём интервал [a; b] на n равных частей.

Введём следующие обозначения:

u(x _j) = u _j – значение функции u(x) в точке x _j ;

– величина интервала между точками.

Производная функции u в точке x _j :

Аппроксимация этой производной с помощью разностных операторов:

 с помощью правой конечной разности

(2.5)

 с помощью левой конечной разности

(2.6)

 с помощью центральной конечной разности

(2.7)

Кроме того, разностную аппроксимацию производной первого порядка можно задать в виде линейной комбинации выражений (2.5) и (2.6):

(2.8)

где 0   1.

При  = 0 выражение (2.8) становится левой конечной разностью, при  = 1 – правой конечной разностью, при  = 1/2 – центральной конечной разностью.

2.2. Порядок аппроксимации

С какой точностью конечные разности (2.5), (2.6), (2.7) аппроксимируют значение производной функции u в точке x _j ?

Представим функции рядам Тейлора относительно точки x _j :

(2.9)

(2.10)

Подставляя выражение (2.9) в правую конечную разность (2.5), получаем:

(2.11)

Первое слагаемое в правой части выражения (2.11) - производная функции u в точке x _j , а все остальные - ошибка аппроксимации,

Порядок аппроксимации по h (h < 1), соответствует наименьшей степени h и характеризует точность, с которой разностный оператор ( ) аппроксимирует производную : чем выше порядок аппроксимации, тем точнее аппроксимация и, соответственно, меньше её ошибка.

Конечные разности имеют первый порядок аппроксимации:

и

Подставляя выражения (2.9), (2.10) в центральную конечную разность (2.7), получаем:

Центральная конечная разность имеет второй порядок аппроксимации и, следовательно, значение производной функции u в точке x _j , полученное при использовании центральной конечной разности, будет ближе к истинному значению, чем при использовании правой или левой конечных разностей.

2.3. Разностная аппроксимация производной второго порядка

Рассмотрим вторую производную функции u в точке x _j :

Первая производная функции u является некоторой функцией w от той же независимой переменной х, что и сама функция u, тогда вторую производную функции u можно представить как первую производную функции w:

Аппроксимируя производную функции w в точке x _j правой конечной разностью (2.5), получаем:

Используя для аппроксимации производной функции u левую конечную разность (2.6), разностный оператор для аппроксимации второй производной функции u в точке x _j можно представить в следующем виде:

(2.12)

Порядок аппроксимации разностного оператора получим при использовании рядов Тейлора (2.9), (2.10):

Разностный оператор, аппроксимирующий вторую производную функции u в точке x _j , имеет второй порядок аппроксимации.

Лабораторная работа 1