3.2. Классификация граничных условий
Рассмотрим классификацию граничных условий на примере уравнения теплового баланса реактора:
где
f(x)
– функция энерговыделения (за
счет химической реакции, например);
– теплоёмкость, плотность и температура
смеси в реакторе;
– коэффициент теплопроводности; х
– координата по длине реактора.
Начальные условия для данного уравнения характеризуют распределение температуры по длине реактора в начальный момент времени:
1) Граничные условия 1-го рода определяют температуры на границах реактора для любого момента времени:
2) Граничные условия 2-го рода задают изменение температуры на границах реактора для любого момента времени:
3) Граничные условия 3-го рода определяют закон свободного теплообмена с окружающей средой на границах реактора для любого момента времени:
4) Смешанные граничные условия, если при постановке задачи используются граничные условия разных родов, например:
Здесь – коэффициент теплоотдачи; l – длина реактора; Тср – температура окружающей среды.
Примеры математических моделей
Математические
модели химических реакторов, в которых
протекает простая необратимая реакция
типа
Скорость
такой реакции определяется по формуле:
где k константа скорости химической реакции; с концентрация вещества Х.
1. ОДУ
Математическая модель трубчатого реактора с продольным перемешиванием в стационарном режиме
состоит из двух ОДУ уравнений 2-го порядка, которые необходимо дополнить граничными условиями:
Здесь DL , – коэффициенты диффузии и теплопроводности, – теплоёмкость, плотность и температура смеси в реакторе, l – длина реактора, v – линейная скорость потока; х – координата по длине реактора, H тепловой эффект реакции, w – скорость реакции.
2. Ду в частных производных
Математическая модель трубчатого реактора с продольным и поперечным перемешиванием в нестационарном режиме:
где r – координата по радиусу реактора; DL , DR – коэффициенты диффузии в продольном и поперечном направлениях,w – скорость реакции.
ДУ многомерное, т.к. концентрация компонента Х – функция трёх переменных:
Так как отсутствует производная 2-го порядка по времени, данное уравнение является уравнением параболического типа. Его необходимо дополнить начальным и граничными условиями:
Здесь R – радиус реактора.
4. Аппроксимация дифференциальных уравнений
4. 1. Разностная сетка
Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа:
(2.13)
Функция
двух независимых переменных
определяется в интервале изменения
В
системе координат (t,
x)
интервалы
разобьем на равные части и построим
разностную
сетку
Рис. 1
Точки
пересечения прямых - узлы
(
)
пространственно-временной (разностной)
сетки
(рис. 1) ;
на
множество узлов
:
на
множество узлов
:
.
и
- шаги сеток по переменным х
и t.
Сетка – множество всех внутренних узлов:
.
Слой
- множество узлов сетки
,
лежащих на прямой
Например,
первый слой при
:
.
Решение
в узлах сетки: 
.
Обозначения:
j – порядковый номер точки деления по оси х;
n – порядковый номер точки деления по оси t;
– величина
интервала между точками по оси х;
– величина
интервала между точками по оси t;
– значение
функции u,
соответствующее точкам t
n,
x
j
.
Нумерация точек разностной сетки по каждой из осей:
по оси х - j = 1, 2, 3, ..., I;
по оси t - n = 0, 1, 2, ..., M.