16. Частные производные высших порядков. Равенство смешанных частных производных второго порядка.

Частные производные высшего порядка. 1)δ/δx(δz/δx)=δ²z/δx²=Z''_xx=f''_x²(x;y); 2)δ/δx(δz/δy)=δ²z/δyδx=Z''_xy=f''_xy(x;y); 3)δ/δy(δz/δx)=δ²z/δxδy=Z''_yx=f''_yx(x;y); 4)δ/δy(δz/δy)=δ²z/δy²=Z''_yy=f''y²(x;y).

Теорема о равенстве частных производных высшего порядка. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой. В частности, для z=f(x;y) имеем: δ²z/δxδy=δ²z/δyδx.

17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (определение). Теорема о существовании касательной плоскости (формулровка, доказательство).

Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, проходящая через эту точку поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку М и любую другую точку М₁ поверхности, стремится к нулю при М стремящимся к М₁.

Нормалью к поверхности в точке М называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной плоскости.

Теорема. Если δF/δx; δF/δy; δF/δz определены в окрестности точки Мо и непрерывны в самой точке М₀ и одновременно в нуль не обращаются, то все касательные прямые к линиям на поверхности лежат в одной плоскости.

Доказательство. L: система(x=x(t); y=y(t); z=z(t)). Касательная прямая (M₀;P) y=(x'(t₀); y'(t_o); z'(t₀)). L∈Q (поверхность). F(x(t), y(t), z(t))=0 сложная функция переменной t. пользуемся правилом дифференцируемости сложной функции: (δF/δx)*(dx/dt)+(δF/δy)*(dy/dt)+(δF/δz)*(dz/dt)=0; (δF(M₀)/δx)*x'(t₀)+(δF(M₀)/δy)*y'(t₀)+(δF(M₀)/δz)*z'(t₀)=0; g=(x'(t₀),y'(t₀),z'(t₀)); обозначим n=(δF(M₀)/δx; δF(M₀)/δy; δF(M₀)/δz); n⊥g. Поскольку через данную точку можно провести бесконечное множество линий, лежащих на поверхности, а к ним бесконечное множество касательных прямых, следовательно все касательные прямые лежат в одной плоскости.

18. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной явно и неявно.

Явно. z=f(x;y) в точке Mo(Xo;Yo;Zo).

K: (δz/δx)|M₀(X-X₀)+(δz/δy)|M₀(Y-Y₀)-(Z-Z₀)=0

N: (X-X₀)/(δz/δx)|M₀=(Y-Y₀)/(δz/δy)|M₀=(Z-Z₀)/(-1)

Неявно. F(x;y;z) в точке Mo(Xo;Yo;Zo).

K: (δF/δx)|M₀(X-X₀)+(δF/δy)|M₀(Y-Y₀)+(δF/δz)|M₀(Z-Z₀)

N: (X-X₀)/(δF/δx)|M₀=(Y-Y₀)/(δF/δy)|M₀=(Z-Z₀)/(δF/δz)|M₀

19. Определение точки максимума и минимума функции z=f(x,y).

Точка (X₀;Y₀) называется точкой максимума функции z=f(x;y), если существует такая δ-окрестность точки (X₀;Y₀), что выполняется неравенство f(x;y)<f(X₀;Y₀).

Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (x;y), отличных от (X₀;Y₀), из δ-окрестности точки (X₀;Y₀) выполняется неравенство f(x;y)>f(X₀;Y₀).

20. Достаточный признак существования экстремума функции z=f(x;y). (формулировка).

Пусть в стационарной точке (X₀;Y₀) и некоторой её окрестности функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (X₀;Y₀) значения A=f''_xx(X₀;Y₀), B=f''_xy(X₀;Y₀), C=f''_yy(X₀;Y₀). Обозначим Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Тогда: 1)если Δ>0, то функция f(x;y) в точке (X₀;Y₀) имеет экстремум: максимум, если A<0; минимум, если A>0; 2)если Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X₀;Y₀) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X₀;Y₀) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

21. Производная функции u=u(x;y;z) по направлению l (определение, формула для вычисления, вывод формулы вычисления).

Предел LimΔl→0(Δu/Δl) называется производной функции u(x;y;z) по направлению вектора l в точке с координатами (x;y;z).

Δu/Δl=LimΔl→0(Δ_lu/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.

Предположим, что функция u(x;y;z) непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D: Δu=(δu/δx)Δx+(δu/δy)Δy+(δu/δz)Δz+E₁Δx+E₂Δy+E₃Δz, где E₁, E₂, E₃ стремятся к нулю при Δl→0. Разделим всё равенство на Δl. Δu/Δl=(δu/δx)(Δx/Δl)+(δu/δy)(Δy/Δl)+(δu/δz)(Δz/Δl)+E₁(Δx/Δl)+E₂(Δy/Δl)+E₃(Δz/Δl). Δx/Δl=cosα; Δy/Δl=cosβ; Δz/Δl=cosγ. Равенство можно представить так: Δu/Δl=(δu/δx)cosα+(δu/δy)cosβ+(δu/δz)cosγ+E₁cosα+E₂cosβ+E₃cosγ. Перейдя к пределу, получим Δu/Δl=LimΔl→0(Δ_lu/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.

22. Градиент функции u=u(x;y;z) в точке (определение, свойства). Связь между производной по направлению и градиентом функции (обоснование).

Вектор с координатами (δu/δx; δu/δy; δu/δz) называется градиентом функции u=f(x;y;z) и обозначается gradU=(δu/δx; δu/δy; δu/δz).

gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k.

Свойства: 1)gradC=0; 2)grad(c*u)=c*gradU; 3)grad(u+v)=gradU+gradV; 4)grad(u*v)=u*gradV+v*gradU, где u*v - скалярные произведения векторов u и v.

Связь. Пусть задана функция u=u(x;y;z) и поле градиентов gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k. Тогда производная Δu/Δl по направлению некоторого вектора l равняется проекции вектора GradU на вектор l.

Частная производная функции z=f(x,y) по x в точке P0(x0,y0) есть производная функции одной переменной φ(x)=f(x,y0) в точке x-x0. Но в этой точке функция φ(x) имеет, очевидно, экстремум. Следовательно, φ’(x0)=0 .Так как φ’(x0)=f’x(x0,y0), то f’x(x0,y0)=0 Аналогично можно показать, что f’y(x0,y0)=0 . Теорема доказана.