1. Первообразная функция. Теорема о разности двух первообразных (с доказательством). Неопределенный интеграл: определение, простейшие свойства неопределённого интеграла (с доказательством одно из них).

Функция F(x) называется первообразной функцией f(x) на интервале (a;b), если для любого x∈(a;b) выполняется равенство F'(x)=f(x).

Теорема. Если функция F(х) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задаётся формулой F(x)+C, где С=const.

Доказательство. Функция F(x)+C является первообразной f(x). Действительно, (F(x)+C)'=F'(x)=f(x). Пусть Ф(х) - некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функция f(x), т.е. Ф'(х)=f(x). Тогда для любого x∈(a;b) имеем (Ф(х)-F(x))'=Ф'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0. А это означает, что Ф(х)-F(x)=C, C=const. Следовательно, Ф(x)=F(x)+C.

Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом ∫f(x)dx.

Свойства: 1) Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции d(∫f(x)dx)=f(x)dx, (∫f(x)dx)'=f(x).

d(∫f(x)dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+dC=F'(x)dx=f(x)dx. и (∫f(x)dx)'=(F(x)+C)'=F'(x)+0=f(x).

2) Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: ∫dF(x)=F(x)+C.

∫dF(x)=F'(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C.

3) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫af(x)dx=a∫f(x)dx.

4) Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.

5) (Инвариантность формулы интегрирования). Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то и ∫f(u)du=F(u)+C, где u=φ(x) - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

2. Задача о площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию определённого интеграла по отрезку. Определение определённого интеграла по отрезку.

Пусть на отрезке [a;b] задана функция y=f(x)≥0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу - осью Ох, сбоку прямые x=a и x=b, называется криволинейной трапецией. Найдём площадь этой трапеции. f(c₁)Δx₁+f(c₂)Δx₂+..+f(c_n)Δx_n=Σf(c_i)Δx_i=Sn. C уменьшением всех величин Δx_i точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимаемся предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда n неограниченно возрастает так, что λ=maxΔx_i→0: S=lim n→∞ Sn=lim n→∞(λ→0) Σf(c_i)Δx_i, то есть S=∫(от a до b) f(x)dx. Итак, определённый интеграл от неопределённой функции численно равен площади криволинейной трапеции.

Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на численные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определённым интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a;b] и обозначается ∫(от a до b) f(x)dx. Таким образом, ∫(от a до b) f(x)dx=lim n→∞(λ→0) Σf(c_i)Δx_i.

3. Вычисление определенного интеграла по отрезку. Формула Ньютона-Лейбница (вывод).

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) - какая-либо её первообразная на [a;b] (F'(x)=f(x)), то имеет место формула ∫(от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a). Эта формула является формулой Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим тождество: F(b)-F(a)=F(x_n)-F(x₀)=(F(x_n)-F(x_n-1))+(f(x_n-1)-F(x_n-2))+…(F(x₂)-F(x₁))+(F(x₁)-F(x₀)). Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа: f(b)-f(a)=f’(c)*(b-a). Получим F(b)-F(a)=F’(c_n)(x_n-x_n-1)+F’(c_n-1)(x_n-1-x_n-2)+F’(c₂)(x₂-x₁)+F’(c₁)(x₁-x₀)= ΣF’(Ci)ΔXi=Σf(Ci)ΔXi, то есть F(b)-F(a)= Σf(Ci)ΔXi, где Ci есть некоторая точка интервала (X_i-1,X_i). Так как функция y=f(x) непрерывна на [a;b], то она интегрируема на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равной определенному интегралу от f(x) на [a;b]. Переходя к пределу при λ=maxΔXi→0,получаем F(b)-F(a)=lim Σf(Ci)ΔXi, то есть ∫(от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a).

4. Определение определённого интеграла по отрезку. Основные свойства определённого интеграла по отрезку (с доказательством одно из них).

Определённым интегралом по отрезку [a;b] от функции f(x) называется предел интегральной суммы Σf(c_i)Δx_i, если этот предел существует и не зависит ни от деления отрезка [a;b]на части, ни от выбора точек t внутри каждой из частей при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков (∆xi) стремится к нулю, т.е ∫(от a до b) f(x)dx=lim Δx_i→0 Σf(c_i)Δx_i.

Свойства: 1)Если с - постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то ∫(от a до b) с*f(x)dx=с*∫(от a до b) f(x)dx. Доказательство. Составим интегральную сумму для функции с*f(x). Имеем Σс*f(c_i)Δx_i=с*Σf(c_i)Δx_i. Тогда lim n→∞ Σс*f(c_i)Δx_i=c*lim n→∞ f(c_i)=с*∫(от a до b) f(x)dx. Отсюда вытекает, что функция с*f(x) интегрируема на [a;b] и справедлива формула ∫(от a до b) с*f(x)dx= с*∫(от a до b) f(x)dx.

2)Если функции f₁(x) b f₂(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [a;b] их сумма и ∫(от a до b) (f₁(x)+f₂(x))dx=∫(от a до b) f₁(x)dx+∫(от a до b) f₂(x)dx.

3)∫(от a до b) f(x)dx= -∫(от b до a) f(x)dx.

4)Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a<c<b, то ∫(от a до b) f(x)dx=∫(от a до c) f(x)dx+ ∫(от c до b) f(x)dx.

5)Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С∈[a;b] такая, что ∫(от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a).

6)Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [a;b], где a<b, то интеграл ∫(от a до b) f(x)dx имеет тот же знак, что и функция. Так, если f(x)≥0 на отрезке [a;b], то ∫(от a до b) f(x)dx≥0.

7)Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [a;b], (a<b) можно интегрировать. Так, если f₁(x)≤f₂(x) при x∈[a;b], то ∫(от a до b) f₁(x)dx≤ ∫(от a до b) f₂(x)dx.

8)Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b], (a<b), то m(b-a)≤∫(от a до b) f(x)dx≤M(b-a).

9)Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции: |∫(от a до b) f(x)dx|≤∫(от a до b) |f(x)|dx; a<b.

10)Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть (∫(от a до x) f(t)dt)'_x=f(x).