Глава 3. Решение игр в смешанных стратегиях

Если платежная матрица не имеет седловой точки, то есть , то поиск решения игры приводит к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определенными частотами. Такая сложная стратегия называется смешанной.

В игре, матрица которой имеет размерность , стратегии первого игрока задаются наборами вероятностей (частот) , с которыми игрок применяет свои чистые стратегии. Аналогично для второго игрока наборы вероятностей определяют n-мерные векторы . При этом суммы вероятностей для каждого игрока равны 1.

Основная теорема теории игр Дж. Фон Неймана. Каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение в смешанных стратегиях.

3.1. Геометрическое решение игр 2´2, 2´n, m´2

3.1.1. Геометрическое решение игры 2´2

Решение игры в смешанных стратегиях допускает графическую интерпретацию, и, следовательно, решение задачи можно показать графически.

Пусть имеем игру 2´2 с платежной матрицей , в которой первая строка .соответствует чистой стратегии игрока А, а вторая – его чистой стратегии .

Графический метод решения игры включает следующие этапы:

Этап 1. В декартовой системе координат pOH по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка р=0) соответствует стратегии , правый – стратегии (р=1). Промежуточные точки оси абсцисс соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий .

Этап 2. На левой оси – оси ординат, откладываются выигрыши стратегии .

Этап 3. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии (рис. 1).

Рис. 1. Графический метод решения игры (2 2)

Этап 4. Соединяем точки прямой , точки прямой .

Интерпретация результатов

Ломаная – это нижняя граница выигрыша, получаемого игроком А. В точке N выигрыш максимален и составляет (цена игры).

Ордината точки N определяет цену игры , а ее абсцисса – вероятность (частоту) применения игроком А чистой стратегии . Вероятность (частоту) применения игроком А чистой стратегии можно найти из условия ( ).

Замечания.

1. Для определения оптимальной смешанной стратегии игрока В, чистым стратегиям которого соответствуют столбцы матрицы А, необходимо найти отношение, в котором проекция точки N на ось OH делит отрезок .

2. При решении игровых задач графическим методом значения , и можно найти приблизительно по рисунку. Для уточнения и проверки результатов можно дополнительно решить системы⁵:

для первого игрока

для второго игрока

или воспользоваться готовыми формулами для нахождения оптимальных значений , и :

Пример

Найти оптимальную смешанную стратегию руководителя коммерческого предприятия и гарантированный средний выигрыш при выборе из двух новых технологий продажи товаров и , если известны выигрыши каждого вида продажи по сравнению со старой технологией, которые представлены в виде матрицы:

Игроки
	0,3	0,8
	0,7	0,4

Решение:

Игра не имеет седловой точки, т.к.

Игроки			Минимумы строк
	0,3	0,8	0,3
	0,7	0,4	0,4
Максимумы столбцов	0,7	0,8

Следовательно, игра не разрешима в чистых стратегиях.

Решим задачу графическим методом (рис. 2).

Выводы:

Коммерческое предприятие получит гарантированный средний выигрыш 0,55 усл. ед., если будет использовать технологию продажи с вероятностью 0,375, а технологию с вероятностью 0,625 (или в отношении примерно 4:6).

Из рисунка можно найти также смешанную стратегию для второго игрока (старая технология с двумя стратегиями и ). Рассмотреть самостоятельно.

Рис. 2. Графическое решение примера