3.2. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Сельскохозяйственное предприятие имеет возможность выращивать две культуры – А1 и А2. Необходимо определить, как сеять эти культуры, если при прочих равных, условиях их урожаи зависят от погоды, В1 (засушливое лето), В2 (нормальное лето) и В3 (дождливое лето).
В качестве выигрыша игрока А возьмем прибыль от реализации выращенных культур. Прибыль сельскохозяйственного предприятия (в усл. ед. на 1 га.) в зависимости от состояний погоды сведены в следующую матрицу
Найти оптимальную смешанную стратегию игрока А (предприятие) графо-аналитическим методом. Вычислить прибыль для всех возможных состояний погоды.
Задача 2. Администрация фирмы ведет переговоры с профсоюзом рабочих и служащих о заключении контракта. Профсоюз стремится максимизировать доходы рабочих и служащих, в то время как администрации хотелось бы минимизировать собственные потери.
Платежная матрица, отражающая интересы договаривающихся сторон, имеет следующий вид
Заданная матрица описывает прибыль профсоюза (игрок А) и затраты администрации фирмы (игрок В). Выплаты указаны в рублях в час и представляют собой среднюю зарплату служащего фирмы вместе со всеми надбавками. Найти оптимальное решение в смешанных стратегиях. Применить правило доминирования стратегий.
Задача 3. Дана платежная матрица
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 |
В6 |
А1 |
12 |
12 |
9 |
3 |
16 |
21 |
А2 |
20 |
18 |
24 |
30 |
18 |
21 |
Аз |
12 |
15 |
9 |
3 |
14 |
16 |
А4 |
10 |
9 |
13 |
17 |
16 |
14 |
А5 |
20 |
18 |
21 |
25 |
18 |
26 |
Убедиться, что в данной игре имеется несколько седловых точек. Найти все оптимальные решения в чистых стратегиях и цену игры. Какие оптимальные решения игрока А возможны в смешанных стратегиях?
Задача 4. Дана платежная матрица
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 |
В6 |
А1 |
17 |
11 |
14 |
8 |
26 |
24 |
А2 |
20 |
23 |
29 |
35 |
14 |
17 |
Убедиться, что в данной игре нет седловой точки в чистых стратегиях. Найти оптимальное решение в смешанных стратегиях графоаналитическим методом.
Задача 5. Рассмотрим антагонистическую игру, в которой участвуют два игрока, каждый из которых имеет две стратегии. Выигрыши каждого из игроков определены следующими правилами: если оба из игроков выбирают стратегии с одинаковыми номерами, то первый выигрывает одну условную единицу. Если игроки выбирают разные стратегии, то выигрывает второй игрок условную единицу. Составить платежную матрицу и найти оптимальное решение игры аналитическим методом.
Задача 6. Рассмотреть платежную матрицу
|
В1 |
В2 |
А1 |
12 |
12 |
А2 |
20 |
18 |
А3 |
12 |
15 |
А4 |
10 |
9 |
А5 |
20 |
18 |
Убедиться, что в данной игре имеется несколько седловых точек. Найти все оптимальные решения в чистых стратегиях и цену игры. Какие оптимальные решения игрока А возможны в смешанных стратегиях?
Задача 7. Игроки А и В играют в следующую игру. Игрок А записывает одно из чисел 6, 7, 9, а игрок В записывает одно из чисел 4, 5. Если сумма чисел четная, то это выигрыш игрока А. Если сумма чисел нечётная, то это выигрыш игрока В (проигрыш игрока А). Найти платёжную матрицу игры и найти её оптимальное решение графо-аналитическим методом.
Задача 8. Рассмотреть платежную матрицу
|
В1 |
В2 |
A1 |
12 |
20 |
А2 |
15 |
18 |
А3 |
13 |
15 |
А4 |
16 |
9 |
А5 |
21 |
14 |
Убедиться, что в данной игре нет седловой точки в чистых стратегиях. Найти оптимальное решение в смешанных стратегиях и цену игры графоаналитическим методом.
Задача 9. Фермер, имеющий ограниченный участок земельных угодий, может его засадить тремя различными культурами А1, А2, А3. Урожай этих культур зависит главным образом от погоды («природы»), которая может находится в трёх различных состояниях: В1, В2, В3. Фермер имеет информацию (статистические данные) о средней урожайности этих культур (количество центнеров культуры, получаемого в одного гектара земли) при трёх различных состояниях погоды, которая отражена в таблице:
Виды культур |
Возможные состояния погоды |
Цены |
||
|
Засуха В1 |
Нормальная В2 |
Дождливая В3 |
|
А1 |
20 |
15 |
10 |
5 |
А2 |
7 |
15 |
5 |
7 |
А3 |
0 |
5 |
10 |
10 |
Необходимо определить пропорции, в которых фермер должен засеять имеющийся участок земли, чтобы получить максимальный гарантированный доход вне зависимости от того, какие погодные условия будут реализованы.
Свести задачу к матричной игре и найти её оптимальное решение, применив линейное программирование.
Задача 10. Предприятие может выпускать 4 вида продукции: А1 А2, А3, А4, получая при этом прибыль. Её величина определяется состоянием спроса (природой рынка), который может находиться в одном из четырёх возможных состояний: В1 В2, В3, В4. Зависимость величины прибыли от вида продукции и состояния рынка представлено в таблице:
Виды продукции |
Возможные состояния рынка спроса |
|||
B1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
A1 |
4 |
3 |
5 |
6 |
А2 |
2 |
6 |
1 |
5 |
А3 |
3 |
0 |
7 |
2 |
А4 |
3 |
5 |
1 |
3 |
Необходимо определить оптимальные пропорции выпускаемых предприятием видов продукции, продажа которой обеспечила бы ему максимально возможную выручку вне зависимости от того, какое состояние спроса будет реализовано.
Задача 11. Два игрока «выбрасывают» одновременно один, два или три пальца. При четной сумме выигрывает первый игрок, при нечетной - второй. Выигрыш равен сумме «выброшенных пальцев». Таким образом, в данном случае каждый из игроков имеет по три стратегии. Составить матрицу выигрышей первого игрока (проигрышей второго).
Что должен делать каждый из игроков, чтобы обеспечить себе максимальный выигрыш?
Задача 12. Фирма А, имея в своем распоряжении 5 условных денежных единиц, пытается удержать два равноценных рынка сбыта. Ее конкурент (фирма В), имея сумму равную 4 условным денежным единицам, пытается вытеснить фирму А с одного из рынков. Каждый из конкурентов для защиты и завоевания соответствующего рынка может выделить целое число единиц своих средств. Считается, что если для защиты хотя бы одного из рынков фирма А выделит меньше средств, чем фирма В, то она проигрывает, а во всех остальных случаях – выигрывает. Пусть выигрыш фирмы А равен 1, а проигрыш равен (-1), тогда игра сводится к матричной игре, для которой матрица выигрышей фирмы А (проигрышей фирмы В) имеет вид:
|
В0 |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
А0 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
A1 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
А2 |
-1 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
А3 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
-1 |
А4 |
-1 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
А5 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
1 |
Здесь Аi - стратегия фирмы А, заключающаяся в выделении і условных денежных единиц на защиту первого рынка; Вj - стратегия фирмы В, заключающаяся в выделении j условных денежных единиц на завоевание первого рынка.
Найти оптимальное решение игры, сведя ее к задачам линейного программирования.
Задача 13. Рассмотреть платежную матрицу
|
B1 |
B2 |
В3 |
B4 |
B5 |
B6 |
А1 |
9 |
9 |
6 |
3 |
13 |
19 |
А2 |
17 |
15 |
19 |
27 |
15 |
19 |
А3 |
9 |
12 |
6 |
2 |
11 |
13 |
А4 |
7 |
6 |
10 |
14 |
13 |
11 |
А5 |
17 |
15 |
18 |
22 |
15 |
23 |
Убедиться, что в данной игре имеется несколько седловых точек. Найти все оптимальные решения в чистых стратегиях и цену игры. Какие оптимальные решения игрока А возможны в смешанных стратегиях?
Задача 14. Игрок А прячет в одной из рук монету. Игрок В пытается угадать руку с монетой. Если В не угадывает, то А получает от В 1 у.е. Если В угадывает руку с монетой и эта рука правая, то он получает от А 1 у.е. Если В находит монету в левой руке, то он получает от А 2 у.е. Определить оптимальные стратегии поведения для каждого игрока и средний выигрыш для А.
Составить матрицу выигрышей игрока А и найти оптимальное решение в смешанных стратегиях.
Задача15. Рассмотреть платежную матрицу
|
B1 |
B2 |
В3 |
В4 |
B5 |
B6 |
A1 |
12 |
12 |
9 |
3 |
16 |
21 |
А2 |
20 |
18 |
24 |
30 |
18 |
21 |
А3 |
12 |
15 |
9 |
3 |
14 |
16 |
А4 |
10 |
9 |
13 |
17 |
16 |
14 |
А5 |
20 |
18 |
21 |
25 |
18 |
26 |
Убедиться, что в данной игре имеется несколько седловых точек. Найти все оптимальные решения в чистых стратегиях и цену игры. Какие оптимальные решения игрока А возможны в смешанных стратегиях?
Задача 16. Директор транспортной компании А, оказывающей транспортные услуги по перевозке пассажиров в областном центре, планирует открыть один или несколько маршрутов: А1, А2, А3 и А4. Для этого было закуплено 100 микроавтобусов. Он может поставить весь транспорт на одном из маршрутов (наиболее выгодном), либо распределить по нескольким маршрутам. Спрос на транспорт, а соответственно и прибыль компании во многом зависит.от того, какие маршруты в ближайшее время откроет главный конкурент -компания В. Ее руководство полностью владеет ситуацией и может открыть несколько из пяти маршрутов В1, В2, В3, В4 и В5. Оценки прибыли компании А (млн. руб.) при любом ответе В представлена платежной матрицей:
|
В1 |
B2 |
В3 |
B4 |
B5 |
А1 |
5 |
6 |
4 |
6 |
9 |
А2 |
6 |
5 |
3 |
4 |
8' |
А3 |
7 |
6 |
6 |
7 |
5 |
А4 |
6 |
7 |
5 |
4 |
3 |
Найти оптимальное решение игры, используя правило доминирования строк и столбцов. Определить оптимальное распределение автотранспорта компании А по маршрутам и соответствующую прибыль.
Задача 17. Рассмотреть платежную матрицу
|
B1 |
В2 |
В3 |
B4 |
А1 |
11 |
15 |
19 |
13 |
А2 |
16 |
14 |
18 |
17 |
А3 |
12 |
13 |
18 |
15 |
А4 |
11 |
15 |
19 |
13 |
Убедиться, что в данной игре нет седловой точки в чистых стратегиях. Упростить игру, исключая доминируемые стратегии игроков. Решение получившейся матричной игры (2x2) найти аналитическим методом. Записать оптимальное решение исходной игры. Будет ли оно единственным?
Задача 18. В игре участвуют первый и второй игроки, каждый из них может записать независимо от другого цифры 1, 2 и 3. Если разность между цифрами, записанными игроками, положительна, то первый игрок выигрывает количество очков, равное разности между цифрами, и, наоборот, если разность отрицательна, то выигрывает второй игрок. Если разность равна нулю, то игра заканчивается вничью.
Составить платежную матрицу игры и найти ее оптимальное решение в чистых стратегиях, если оно существует.
Задача 19. Рассмотреть платежную матрицу
|
B1 |
B2 |
В3 |
B4 |
B5 |
B6 |
А] |
8 |
8 |
5 |
2 |
17 |
17 |
А2 |
11 |
14 |
20 |
22 |
5 |
8 |
А3 |
8 |
11 |
5 |
2 |
14 |
17 |
Убедиться, что в данной игре нет седловой точки в чистых стратегиях. Упростить игру, исключая доминируемые стратегии игроков. Решение получившейся матричной игры найти графоаналитическим методом. Записать оптимальное решение исходной игры.
Задача 20. Рассмотреть платежную матрицу
|
B1 |
B2 |
В3 |
B4 |
B5 |
B6 |
А1 |
17 |
17 |
14 |
8 |
21 |
26 |
А2 |
20 |
23 |
29 |
35 |
9 |
17 |
А3 |
17 |
20 |
14 |
8 |
18 |
26 |
А4 |
15 |
14 |
18 |
22 |
16 |
19 |
А5 |
25 |
19 |
23 |
20 |
23 |
15 |
Убедиться, что в данной игре нет седловой точки в чистых стратегиях. Найти оптимальное решение в смешанных стратегиях, сведя игру к двойственным задачам линейного программирования.
Задача 21. Два игрока играют в игру «камень, ножницы, бумага» одновременно и независимо друг от друга выбирают камень, бумагу или ножницы. Комбинация бумаги и камня соответствует выигрышу одной единицы тому из игроков, который выбрал бумагу (камень может быть обернут бумагой); камень и ножницы дают тот же выигрыш партнеру, назвавшему камень (камень ломает ножницы); наконец комбинация бумага - ножницы дает победу ножницам (ножницы режут бумагу). Выбор одинаковых предметов соответствует ничейному исходу партии, каждый игрок получает ноль.
Составить платежную матрицу игры и найти ее оптимальное решение в смешанных стратегиях.
Задача 22. Рассмотреть платежную матрицу
|
B1 |
B2 |
В3 |
B4 |
B5 |
B6 |
A1 |
11 |
13 |
9 |
5 |
19 |
18 |
А2 |
12 |
15 |
24 |
20 |
9 |
14 |
А3 |
13 |
16 |
7 |
4 |
12 |
15 |
А4 |
10 |
9 |
13 |
17 |
16 |
11 |
А5 |
20 |
10 |
18 |
16 |
22 |
10 |
Убедиться, что в данной игре нет седловой точки в чистых стратегиях. Найти оптимальное решение в смешанных стратегиях, сведя игру к двойственным задачам линейного программирования.
Задача 23. Два человека одновременно показывают один или два пальца и называют число 1 или 2, означающее, по мнению говорящего, количество пальцев, показанное другим. После того, как пальцы показаны и числа названы, происходит распределение выигрыша по следующим правилам: если оба угадали или оба не угадали, сколько пальцев показал их соперник, выигрыш каждого равен нулю; если угадал только один, то противник платит угадавшему сумму денег, пропорциональную общему числу показанных пальцев.
Составить платежную матрицу игры и найти ее оптимальное решение в смешанных стратегиях путем сведения ее к задаче линейного программирования.
Задача 24. Рассмотреть платежную матрицу
|
B1 |
B2 |
В3 |
B4 |
B5 |
B6 |
А1 |
12 |
12 |
9 |
5 |
20 |
22 |
А2 |
15 |
18 |
24 |
30 |
9 |
12 |
А3 |
12 |
15 |
9 |
3 |
18 |
21 |
Убедиться, что в данной игре нет седловой точки в чистых стратегиях. Упростить игру, исключая доминируемые стратегии игроков. Решение получившейся матричной игры найти графоаналитическим методом. Записать оптимальное решение исходной игры.
Задача 25. Магазин может завезти в различных пропорциях товары трех типов (А1, А2, А3); их реализация и прибыль магазина зависят от вида товара и состояния спроса. Предполагается, что спрос может иметь три состояния (В1, В2, В3). Прибыль от продажи товаров каждого типа на 100 усл. ед. для каждого состояния спроса заданы в таблице
|
B1 |
В2 |
В3 |
А1 |
20 |
15 |
10 |
А2 |
16 |
12 |
14 |
А3 |
13 |
18 |
15 |
Рассматривая эту таблицу как платежную матрицу игры магазина (игрок А) против спроса (игрок В), найти оптимальное решение x1*, х2*, х3* игры в смешанных стратегиях. Свести задачу к эквивалентной задаче линейного программирования.
Задача 26. Рассмотреть платежную матрицу
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 |
В6 |
А1 |
12 |
12 |
9 |
3 |
21 |
21 |
А2 |
15 |
18 |
24 |
30 |
9 |
12 |
А3 |
12 |
15 |
9 |
3 |
18 |
21 |
А4 |
10 |
9 |
13 |
17 |
16 |
14 |
А5 |
20 |
14 |
18 |
15 |
18 |
10 |
Убедиться, что в данной игре нет седловой точки в чистых стратегиях. Найти оптимальное решение в смешанных стратегиях, сведя игру к двойственным задачам линейного программирования.