4.4 Метатеоретические свойства системы исчисления со схемами аксиом и натурального исчисления высказываний

4.4.1 Метатеоретические свойства исчисления высказываний

1. Построенное исчисление со схемами аксиом и натуральное исчисление высказываний являются дедуктивно эквивалентными. Для доказательства этого утверждения необходимо показать, что все схемы теорем и правила вывода в натуральном исчислении производны от дедуктивных средств системы исчисления высказываний со схемами аксиом, и наоборот. Так, единственным правилом вывода в обеих системах исчисления высказываний является правило modus ponens. Также все правила натурального исчисления являются производными в аксиоматическом исчислении. Правило введения импликации – это modus ponens системы аксиоматического исчисления, а правила введения конъюнкции, исключения конъюнкции и введения дизъюнкции могут быть получены из соответствующих схем аксиом. Например, нам необходимо обосновать средствами исчисления высказываний со схемами аксиом правила введения конъюнкции:

(1) – схема аксиом CA5;

(2) A – посылка;

(3) – по правилу modus ponens из (1), (2);

(4) B – посылка;

(5) – по правилу modus ponens из (3), (4).

Таким образом, осуществлена схема вывода , которая и обосновывает наличие в исчислении высказываний со схемами аксиом правила введения конъюнкции. По аналогии можно доказать правила исключения конъюнкции, введения дизъюнкции и исключения отрицания натурального исчисления высказываний. Что касается правила исключения дизъюнкции, то здесь ситуация сложнее, так как для начала необходимо доказать, что формулы (отрицание антецендента) и являются теоремами.

Доказательство – закона отрицания антецендента

( 1) A – посылка;

( 2) – посылка;

(3) – частный случай CA1;

(4) – частный случай CA1;

(5) – modus ponens к (3), (1);

(6) – modus ponens к (4), (2);

(7) – частный случай CA9;

(8) – modus ponens к (7), (6);

(9) B – modus ponens к (8), (5);

(10) – теорема дедукции к (2)–(9);

(11) – теорема дедукции к (1)–(10).

Теорема доказана.

Доказательство

(1) – закон отрицания антецендента;

(2) – частный случай CA1;

(3) – CA8;

(4) – modus ponens к (3), (1);

(5) – modus ponens к (4), (2).

Теорема доказана.

Обоснование правила исключения дизъюнкции

(1) – теорема из предыдущего доказательства;

(2) – посылка;

(3) – modus ponens к (1), (2);

(4) – посылка;

(5) B – modus ponens к (3), (4).

Правило введения импликации представлено в исчислении высказываний со схемами аксиом теоремой дедукции и является, как мы уже убедились, производным. Правило введения отрицания также производно. Формально оно может быть записано так:

.

Доказательство правила

(1) – допущение;

(2) – допущение;

(3) – CA10;

(4) – свойство сечения к (3), (1) и перестановка;

(5) – свойство сечения к (3), (2) и перестановка;

(6) – теорема дедукции к (4);

(7) – теорема дедукции к (5);

(8) – выводимость на основе CA9;

(9) – сечение к (7), (8);

(10) – сечение к (6), (9), перестановка и сокращение.

Все правила натурального исчисления производны в исчислении высказываний со схемами аксиом.

Учитывая дедуктивную эквивалентность данных систем, мы можем использовать в доказательствах все правила натурального исчисления. Все свойства, которые будут установлены для исчисления высказываний со схемами аксиом, справедливы также и для натурального исчисления высказываний.

2. Исчисление высказываний со схемами аксиом является синтаксически и семантически непротиворечивым. Некоторая логическая теория Т называется семантически непротиворечивой, если любая доказуемая в ней формула является тождественно-истинной (общезначимой), т. е. имеет место отношение , где запись обозначает доказуемость A в Т, а знак « » – метаязыковой квантор общности. Это положение доказывается очень просто – при помощи таблиц истинности. Для каждой схемы аксиом строится своя таблица истинности и показывается, что она является тождественно-истинной.

Произвольная логическая теория T является синтаксически непротиворечивой, если в ней невозможно одновременное доказательство некоторой формулы и ее отрицания, т. е. , где символы с точками – это метазнаки отрицания, квантора существования и конъюнкции.

3. Исчисление высказываний со схемами аксиом является семантически и синтаксически полным. Некоторая логическая теория T считается семантически полной, если в ней доказуема любая тождественно-истинная (общезначимая) формула, т. е. в ней имеет место отношение . Логическая теория T, сформулированная с помощью схем аксиом, считается синтаксически полной, если к ней нельзя присоединить без противоречия ни одной недоказуемой в ней схемы формул. Из этого следует, что синтаксис и семантика рассмотренного аксиоматического исчисления адекватны друг другу. Данное исчисление адекватно формализует содержательное понятие логического закона пропозициональной логики, а также и содержательное понятие логического следования этой логики.

4. Система исчисления высказываний со схемами аксиом является разрешимой. Произвольная логическая теория T называется разрешимой, если существует алгоритм, позволяющий для любой формулы языка теории в конечное число шагов определить, является ли эта формула теоремой или нет. Так как любая формула – это конечный объект, мы можем в конечное число шагов построить таблицу истинности для данной формулы и установить, является ли она тождественно-истинной или нет.