3.2.5 Непрямые способы аргументации

Наряду с рассуждениями указанных видов зачастую мы вынуждены прибегать к непрямым способам аргументации. В этом случае в ходе основного рассуждения строятся вспомогательные выводы.

Схема 13
		Из выведено B1
		Из выведено B2
	Из выведено Bn
	Из Г выведено A

Непрямой способ аргументации – это прием построения рассуждения, позволяющий посредством построения одного или нескольких вспомогательных рассуждений осуществить основной вывод. При этом непрямой способ аргументации является корректным в том и только в том случае, если он гарантирует сохранение логического следования при переходе от вспомогательных рассуждений к основному (схема 13).

Существует два основных способа непрямой аргументации, которые наиболее часто применимы в практике построения рассуждений.

Схема 14
	Из Г и A выведено B
	Из Г выведено

1. Рассуждение по правилу дедукции. Это способ применяется в том случае, если целью основного рассуждения является обоснование посредством множества аргументов Г импликативного высказывания . В этом случае осуществляют вспомогательное рассуждение. Оно строится на том, что в качестве допущения принимается антецендент A импликативного высказывания, а затем из множества аргументов Г и высказывания A
выводится его консеквент B. В случае если указанная задача разрешена, заключают, что импликативное высказывание обосновано посредством Г (схема 14).

2. Рассуждение от противного. В этом случае для обоснования тезиса A из множества аргументов Г строят вспомогательное рассуждение, приняв в качестве допущения высказывание, противоречащее A ( ).

Схема 15
	Из Г и выведено
	Из Г выведено A

В дальнейшем стремятся вывести из Г и противоречие. Если этого удается достичь, то делают вывод о том, что тезис A обоснован посредством аргументов из множества Г (схема 15).

3.3 Логика предикатов

3.3.1 Алфавит логики предикатов

Пропозициональная логика является мощным, но недостаточным средством, так как охватывает лишь некоторую часть класса логически истинных высказываний. В рамках логики высказываний отвлекаются от внутренней структуры предложений, заменяя их пропозициональными переменными.

Язык логики предикатов первого порядка позволяет выражать логические формы простых высказываний с учетом их внутренней структуры. Данный язык указывает на то, какого типа логические и нелогические термины входят в состав высказываний и каким образом эти термины соединяются между собой. Классическая логика предикатов называется первопорядковой в силу того, что в ней квантифицируются (связываются кванторами) переменные единственного типа – индивидные переменные. Индивидными называются переменные, возможными значениями которых являются объекты нулевого порядка. Именно индивидным переменным приписываются предикаты первого порядка.

Таким образом, логика предикатов – это кванторная теория, т. е. логическая теория, позволяющая анализировать высказывания и умозаключения с учетом внутренней структуры простых высказываний.

Дескриптивными (нелогическими) символами данного формализованного языка (теории) являются параметры нелогических терминов естественного языка, относящиеся к различным категориям – именам, предметным функторам и предикаторам. Данные символы могут быть разделены на три группы:

I. Индивидные константы – параметры имен собственных естественного языка. Для обозначения индивидных констант традиционно используются первые четыре буквы латинского алфавита без индексов или с нижними целочисленными положительными индексами: При переводе выражений с естественного языка на язык логики предикатов простые имена заменяются индивидными константами.

II. n-местные предметно-функциональные константы ( ) представляют собой параметры n-местных функторов естественного языка. Для их обозначения используются также строчные буквы латинского алфавита с верхним и нижним индексом или только с верхним индексом. Последний указывает на местность константы:

III. n-местные предикаторные константы ( ) – параметры предикаторов естественного языка. Обозначаются прописными латинскими буквами с верхним и нижним индексом или без нижнего индекса. Верхний индекс указывает на местность предикаторной константы: Зачастую если предикатор выражает свойство, то верхний индекс также опускают. Также по сложившейся традиции прописная латинская буква R используется для обозначения двухместных или многоместных предикаторных констант (отношений).

Помимо параметров нелогических терминов естественного языка в языке классической логики предикатов первого порядка используются индивидные переменные. Они обозначаются посредством строчных букв латинского алфавита с курсивным начертанием. При этом может использовать нижний индекс:

Логические символы в языке логики предикатов подразделяются на два типа:

I. Пропозициональные связки, которые являются знаками функций истинности. Исходными связками являются отрицание (обозначается чертой над выражением), конъюнкция ( ), дизъюнкция ( ), импликация ( ).

II. Кванторы: – квантор общности, – квантор существования.

Техническими символами являются левая и правая скобки, а также запятая.

Термы и формулы логики предикатов первого порядка. В языке логики предикатов имеются два типа правильно построенных выражений – термы и формулы. Термы являются знаками имен естественного языка, а формулы – знаками высказываний.

Индуктивное определение терма:

1. Любая (произвольная) предметная константа является термом.

2. Любая (произвольная) предметная переменная также является термом.

3. Если Ф – n-местная предметно-функциональная константа, а t₁, t₂, …, t_n – термы, то выражение Ф(t₁, t₂, …, t_n) является термом.

4. Ничто иное не является термом.

При этом предметные константы и предметные переменные являются простыми термами, а n-местная предметно-функциональная константа – это сложный терм.

Индуктивное определение формулы:

1. Если П – n-местная предикаторная константа и – это термы, то выражение является формулой (атомарной).

2. Если А – формула, то – формула (молекулярная).

3. Если А и В – формулы, то – формулы (молекулярные).

4. Если А – формула и – предметная переменная, то и также являются формулами (молекулярными).

5. Ничто иное не является формулой.

Высказывания, в которых утверждается наличие свойства у отдельного предмета, записываются в языке логики предикатов посредством формул вида , где t – терм, а – одноместная предикаторная константа, соответствующая знаку свойства. Как правило, для обозначения предикаторных констант в выражениях используются прописные латинские буквы P, Q и S. Например: и т. д. Если в высказывании отрицается наличие у предмета какого-либо свойства, то в языке логики предикатов первого порядка используется формула вида . Например: и т. д.

Высказывания, в которых утверждается наличие отношения между двойками, тройками, …, n предметов, записываются в виде формул , где – предикатная константа, соответствующая знаку n-местного отношения, а – термы, соответствующие именам предметов. Высказывания подобного рода выражаются посредством прописной буквы R. Например: и т. д. Высказывания, в которых отрицается наличие отношения между двумя предметами, выражаются с помощью формулы вида .

Если в высказывании говорится о существовании некоторого объекта, удовлетворяющего некоторому условию, то используется форма записи , где – индивидная переменная (пробегающая по области объектов, о которых идет речь в высказывании), а – формула, выражающая утверждение о том, что удовлетворяет условию А. Если в высказывании говорится о том, что условию А удовлетворяет любой объект предметной области, то используется форма записи вида .

Синтаксические понятия языка классической логики предикатов первого порядка. В случае использования формул вида и формула А называется областью действия квантора по переменной .

Переменная имеет некоторое число вхождений в данную формулу. Также переменные могут иметь связанное и (или) свободное вхождение в формулу. Вхождение предметной переменной в некоторую формулу называется связанным, если оно следует непосредственно за квантором или находится в области действия квантора по данной переменной. В случае несоблюдения этого условия вхождение переменной является свободным. Предметная переменная называется свободной в некоторой формуле, если существует, по крайней мере, одно ее свободное вхождение в эту формулу. Переменная называется связанной в формуле, если существует, по крайней мере, одно ее связанное вхождение в эту формулу.

Важной характеристикой терма является его местность, т. е. число входящих в него различных предметных переменных. Терм, не содержащий в своем составе предметных переменных, называется замкнутым. Аналогами имен естественного языка являются замкнутые термы.

Когда говорят о местности формулы, подразумевают число входящих в нее различных свободных предметных переменных. Если формула не содержит свободных переменных, то она называется замкнутой. Предложения естественного языка могут быть выражены в языке логики предикатов первого порядка только посредством замкнутых формул.

Формула, содержащая свободные индивидные переменные и в силу этого не являющаяся истинной или ложной, может быть преобразована за счет устранения свободных переменных. Последние могут быть устранены двумя способами: 1) подстановкой вместо свободных индивидных переменных замкнутых термов или 2) квантификацией свободных индивидных переменных.