1.3.3 Основные логические отношения

Наряду с выделением логических законов в рамках пропозициональной логики решается задача по установлению логических отношений (отношения по истинности и ложности) между формулами. При этом учитываются возможные совместные значения формул при различных интерпретациях нелогических символов в их составе.

Данные определения задают логические отношения не только между формулами логики высказываний, но и между формулами любой другой логической теории. Фундаментальными являются отношения совместимости по истинности, совместимости по ложности и логического следования. Производными от них являются отношения контрадикторности, контрарности, субконтрарности, эквивалентности, подчинения и независимости.

Формулы множества Г называются совместимыми по истинности в некоторой логической теории Т, если и только если в Т существует интерпретация нелогических символов, входящих в указанные формулы, при которой каждая формула, входящая в Г, принимает значение «истина». Если данное условие не соблюдается, то рассматриваемые формулы являются несовместимыми по истине.

Формулы множества Г называются совместимыми по ложности в теории Т, если и только если в Т существует интерпретация нелогических символов, входящих в указанные формулы, при которой каждая формула из Г принимает значение «ложь». В противном случае формулы несовместимы по ложности.

Из множества формул Г логически следует формула В в некоторой логической теории Т, если и только если в Т не существует интерпретации нелогических символов, входящих в Г и В, при которой каждая формула из Г принимает значение «истина», а формула В – значение «ложь». В противном случае говорят, что формула B не следует из Г. Выражение «из множества формул Г логически следует B» может быть записано так: « », где знак « » указывает на отношение логического следования.

Формулы A и B находятся в отношении контрадикторности (противоречия), если и только если они несовместимы по истинности и несовместимы по ложности.

Формулы A и B находятся в отношении контрарности (противоположности), если и только если они несовместимы по истинности, но совместимы по ложности.

Формулы A и B находятся в отношении субконтрарности (подпротивоположности), если и только если они совместимы по истинности, но несовместимы по ложности.

Формулы A и B логически эквивалентны, если и только если из A логически следует B, а из B логически следует A.

Формула А логически подчиняется формуле B, если и только если при логическом следовании A из B ( ) нет обратного логического следования ( ).

Формулы A и B логически независимы, если они совместимы по истинности и ложности и при этом не следуют друг из друга.

Таблица 7
	p	q
1	и	и	и	и	и	л
2	и	л	л	л	л	и
3	л	и	и	л	л	и
4	л	л	и	и	л	л

Рассмотренные выше таблицы истинности позволяют однозначно решить вопрос об отношениях между формулами пропозициональной логики. К примеру, рассмотрим отношения между формулами , , и . Для этого нам необходимо построить совместную для данных формул таблицу истинности (табл. 7).

Как видно из приведенной таблицы, формулы и являются контрадикторными, так как во всех строках при истинности одной из них вторая обязательно оказывается ложной. Из формулы логически следует формула (при истинности первой, вторая ни в одной строке не является ложной), но обратного следования нет (так как в третьей строке, при истинности импликации, эквиваленция ложна). Это значит, что данные формулы находятся в логическом подчинении. Точно в таком же отношении находятся и формулы и . Кроме того, можно утверждать, что из логически следует формула . Следовательно, далее можно установить любые отношения между формулами.

В пропозициональной логике истинными являются несколько утверждений метатеоретического характера. Наиболее важными из них являются:

1. Из некоторой формулы A логически следует формула B тогда и только тогда, когда формула ( ) является тождественно-истинной, т. е.

.

Данное свойство может быть формально обобщено:

,

т. е. из посылок логически следует формула B, если и только если формула является тождественно-истинной. Данное метаутверждение следует из самого смысла логического следования и импликации.

2. Если тождественно-истинной является формула A и тождественно-истинной является формула , то тождественно-истинной является и формула B. Формализовано это утверждение может быть посредством записи:

.

Данное утверждение, в сущности, раскрывает правило modus ponens:

.

3. Если вместо любой пропозициональной переменной везде, где она встречается в тождественно-истинной формуле, подставить произвольную формулу, то в результате мы снова получим тождественно-истинную формулу.