Логические операции над предикатами

Так же как и к высказываниям, к предикатам можно применять обычные логические операции функций алгебры логики: . В результате также будут получаться предикаты. Например, . Тем самым из некоторого исходного множества предикатов, используя операции , мы можем составлять различные формулы, которые будут выражать некоторые предикаты.

Теорема о полноте системы одноместных предикатов, заданных на конечном множестве

Рассмотрим одноместные предикаты, определенные на некотором конечном множестве . Определение. Система одноместных предикатов над множеством называется полной, если через них с помощью логических операций ( ) можно выразить любой одноместный предикат над .

Теорема 5. Пусть - конечное множество. Система одноместных предикатов над является полной для любых двух различных элементов и множества найдется предикат , такой, что .

Идея доказательства: Показать, что любой одноместный предикат над множеством выражается через предикаты при помощи операций .

Кванторы

Определим две новые операции над предикатами – операции навешивания кванторов.

Квантор общности. Пусть - некоторый предикат, зависящий от переменных . Высказывание « истинно для всех x » будем обозначать символом (читается «для всех x »). Это высказывание зависит от переменных , причем на произвольном наборе значений своих переменных оно принимает значение 1 тогда и только тогда, когда для любого значения переменной выполняется равенство . Переход от предиката к предикату называется навешиванием квантора общности.

Квантор существования. Пусть - некоторый предикат. Высказывание « истинно при некотором x» будем обозначать символом (читается «существует x, для которого »). Это высказывание зависит от переменных , причем на произвольном наборе значений своих переменных оно принимает значение 1 тогда и только тогда, когда существует некоторое значение переменной , такое, что . Переход от предиката к предикату называется навешиванием квантора существования.

Отметим, что применение каждой такой операции уменьшает число переменных, от которых зависит предикат, на единицу.

Примеры.

1. - ложное высказывание, где P(x) - « x - простое

число».

2. - истинное высказывание, где P₂(x) - « x делится на 2», P₃(x) - « x делится на 3».

3. - истинное

высказывание, где S(x,y) - « x≤y», S(y,z) - « y≤z», S(x,z) - « x≤z».

Исчисление предикатов (ип)

Исчисление предикатов это аксиоматическое описание логики предикатов (ЛП). ИП содержит символы, из которых составляются формулы. Затем среди всех формул выделяются формулы, называемые выводимыми. Выделение выводимых формул в ИП, так же как и в ИВ, осуществляется путем указания некоторой конечной совокупности формул, которые называются аксиомами, и указанием правил вывода, позволяющих из выводимых формул получать новые выводимые формулы.