Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Обосновать примитивную рекурсивность функции , построив описывающие ее примитивно рекурсивные схемы.

Решение. Напишем схему примитивной рекурсии для функции , ведя рекурсию по переменной :

,

.

Из этой схемы следует, что для описания функции достаточно иметь функцию и функцию . Очевидно, что функция представима в виде суперпозиции простейших функций. Дадим примитивно рекурсивное описание функции . Имеем

,

.

Значит , , где .

Следовательно, надо еще построить примитивно рекурсивное опи­сание функции , которая, как нетрудно заметить, есть . Легко видеть, что

φ(0) = 1 = s(0) ,

φ(y + 1) = 0 .

Итак, f(x,y) строится из простейших функций с помощью операций суперпозиции и примитивной рекурсии. Значит, она примитивно рекурсивная функция.

Задание 2. Используя в качестве исходных функций только константы и простейшие функции, построить примитивно рекурсивные схемы, описывающие следующие функции:

1. 

2. 

3. 

4. , где n 2 и натуральное число;

5. 

6. 

7. ;

8. .

Задание 3. Применяя операцию примитивной рекурсии к функциям и по переменной y, построить функцию , записав ее в «аналитической» форме:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Задание 4. Применить операцию минимизации к функции

Результирующую функцию представить в «аналитической» форме.

Решение. Для каждого ищем минимальное решение уравнения . Так как множеством значений функции f(x) является множество , то уравнение имеет решения лишь при для всякого такого решение единственное (оно равно ).

Принимая во внимание, что функция f(x) при х = 2 не опреде­лена, заключаем: найденные решения, превосходящие 2, т.е. 3, 4, ..., не являются допустимыми (см. п. в) определения операции миними­зации). Итак, функция определена только при х = 2 и х = 5; g(2) = 0, g(5) = 1.

В качестве «аналитической» записи функции g(х) можно взять

Формулу (ибо функция определена только при x = 2, 5, 8, 11, ..., Зn + 2, ..., а функция (6 — х) - только для х 6, причем (6 — 2) = (6 — 5) =0).

Задание 5. Применить операцию минимизации к функции по перемен­ной (результирующую функцию представить в «аналитической» форме):

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Раздел 9. Теория кодирования Алфавитное кодирование

В связи с изучением управляющих систем появилась необходимость систематического исследования в области теории кодирования.

Источник сообщений

Код сообщения

Сообщение на выходе

Источник помех

Код сообщения на выходе

ния на выходе

Канал связи

Кодирование Декодирование

Пусть задан алфавит , состоящий из конечного числа букв. - слово. Пусть S(U) – множество всех слов в алфавите U, и S^{1 -} некоторое подмножество множества S. Объект, порождающий слова из S¹, называется источником сообщений, а слова из S¹ – сообщениями. Источником сообщений может быть автомат, человек и т. д. Существует ряд способов описания источников сообщений:

1. теоретико-множественное описание осуществляется путем фиксации мощностных характеристик;

2. статистическое описание осуществляется заданием вероятностных характеристик;

3. логическое описание дает описание множества S¹ как некоторого «языка».

Пусть задан алфавит D= {b₁,…,b_q} . Через B обозначим слово в алфавите D и через S(D) – множество всех слов в алфавите D. Пусть задано отображение F, которое каждому слову A, A S¹(U), ставит в соответствие слово B=F(A), B S(D). Слово B будем называть кодом сообщения A, а переход от слова A к его коду – кодированием. В теории кодирования отображение F задается некоторым алгоритмом.

Пример. Алфавитное кодирование.

Рассмотрим соответствие:

a₁ – B₁,

a₂ – B₂, ( )

…

a _r – B_r.

Это соответствие называется схемой алфавитного кодирования и обозначают через . Оно определяет алфавитное кодирование так: каждому слову ставится в соответствие слово , которое называется кодом слова A . Слова B₁,…, B_r называются элементарными кодами.

Выбор кодов связан с различными обстоятельствами:

• с удобством передачи кодов (двоичный код технически легче использовать);

• с обеспечением удобства восприятия (машинные коды удобны для работы процессора);

• с достижением определенных свойств алгоритма кодирования (простота кодирования, возможность однозначного декодирования) и т.д.

Канал связи

B B¹

Канал связи можно рассматривать как устройство с одним входом и одним выходом. В – код сообщения на входе, В¹ - код сообщения на выходе, где В¹ - слово в некотором алфавите D¹ и В¹= f(В). Простейший случай – тождественный канал без помех - В¹ В(f(В)=В) , значит D¹= D. В общем случае канал связи может включать в себя преобразование кодов и В¹В (в ЭВМ).

Источник помех вносит ошибки в канал связи, вызывая искажения кодов на выходе. Для описания источника помех используют два способа:

1. логико-комбинаторное описание связано с указанием ограничений на число единичных ошибок;

2. статистическое описание осуществляется заданием вероятностных характеристик источника.

Сообщение на выходе представляет собой слово в некотором алфавите С. В случае тождественного канала, т.е. при передаче сообщений, С=U .

Переход от кодов сообщений на выходе к сообщениям на выходе предполагает два преобразования:

1. Коррекция кода сообщения на выходе. (При передаче сообщений, т.е. происходит переход от В¹ к В ) .

2. Декодирование. Оно представляет переход от кода, полученного из кода сообщения на выходе после коррекции, к сообщению на выходе. Декодирование возможно для специальных кодов сообщений. В случае передачи сообщений декодирование возможно, если существует обратное отображение F^-1.