Раздел 6. Элементы математической логики Предисловие

Обычно под логикой понимают анализ методов рассуждений. При рассмотрении этих методов логика интересуется формой рассуждений, а не содержанием посылок и заключений. Еще древние философы изучали методы рассуждений, и их исследования положили начало философской логике. С развитием точных наук в философской логике стали применяться математические методы: появилась математическая логика.

Математическая логика - это логика, развиваемая с помощью математических методов. Этот термин имеет и другой смысл: изучать математическую логику значит изучать логику, используемую в математике. Логика выполняет важное назначение: она говорит нам, что из чего следует. Излагая математическую теорию, мы всякий раз пользуемся логикой.

Начало математической логике было положено в 1847 году работами А. Де Моргана, Дж. Буля и более поздними работами 1890-1905 годов. Интерес к математической логике особенно возрос к концу XIX века в связи с открытием парадоксов. Были выбраны различные методы преодоления парадоксов. Для логических целей был создан формализованный язык.

С развитием математической логики в ней возникли свои специфические задачи. Появились различные системы математических логик, например: классическая, конструктивная, интуиционистская, модальная, комбинаторная и др. Логика, которую мы рассматриваем, является классической.

Математическая логика включает в себя изучение оснований математики, математическую теорию доказательств. В настоящее время она оказала существенное влияние и на развитие самой математики. Работы К. Геделя, С. Клини, А. Черча, Э. Поста, А. Тарского, А. А. Маркова, П. С. Новикова, А. И. Мальцева, С. В. Яблонского, Ю. Л. Ершова и многих других определили математической логике важную роль в математике. Из идей математической логики возникло точное определение понятия алгоритма. Теперь аппарат математической логики находит применение в вопросах конструирования вычислительных машин и сложных автоматических устройств. Появились динамические и программные логики.

Основным объектом изучения в математической логике являются различные исчисления. В понятие исчисления входят такие основные компоненты, как:

а) язык (формальный) исчисления;

б) аксиомы исчисления;

в) правила вывода.

Изучение исчислений составляет синтаксическую часть математической логики. Исчисления позволяют формализовать многие разделы математики и других наук. Остановимся на двух основных видах исчисления:

1. исчисление высказываний - ИВ;

2. исчисление предикатов - ИП.

Заметим, ИВ и ИП являются формализациями логики. Создание и изучение этих формализаций явилось важным этапом в развитии математической логики как науки.

Исчисление высказываний

Высказыванием в русском языке мы называем такое повествовательное предложение, про которое можно утверждать, что оно истинно или ложно. Например, высказывание << вода - продукт горения водорода>> истинно, а высказывание << все нечетные натуральные числа простые>> ложно. Заметим, повествовательное предложение <<чай - прекрасный напиток>> не является высказыванием.

Из высказываний А, В в русском языке мы можем образовать более сложные высказывания:

1. <<А и В>> (А  В);

2. <<А или В>> (А  В);

3. <<неверно, что А>> (¬А);

4. <<если А, то В>> (А→В).

Если мы знаем, истинно (И) или ложно (Л) каждое из высказываний А, В, то мы можем определить, истинны или ложны выписанные выше сложные высказывания по следующей таблице истинности:

А	В	А  В	А  В	¬А	А→В
Л	Л	Л	Л	И	И
Л	И	Л	И	И	И
И	Л	Л	И	Л	Л
И	И	И	И	Л	И

Например, если А истинно, а В ложно, то высказывание <<если А, то В>> ложно. Однако иногда мы можем утверждать об истинности сложного высказывания, не зная, истинны или ложны высказывания, из которых оно составлено. Например, каковы бы ни были высказывания А и В, высказывание <<неверно, что А, или если В, то А>> (¬А  (В→А)) всегда истинно. В этом случае говорим, что схема <<неверно, что А, или если В, то А>> тождественно истинна. Одной из основных задач ИВ является описание тождественно истинных схем. Для этого придется заменить русский язык формальным языком, который не допускает двусмысленностей.