МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики, информационных и авиационных технологий

Е. А. Михеева

ВВЕДЕНИЕ В ДИСКРЕТНУЮ МАТЕМАТИКУ

Учебное пособие

для студентов 1 курса факультета математики, информационных и авиационных технологий

Часть вторая

Ульяновск

2016

УДК 519.7 + 519.1(075.8)

ББК 22.174 я73

М69

Печатается по решению Ученого совета факультета математики, информационных и авиационных технологий Ульяновского государственного университета

(протокол № 1/16 от 19.01.2016 )

Рецензенты:

профессор, доктор технических наук А. А. СМАГИН

доцент, кандидат физико-математических наук М. А. ВОЛКОВ

Михеева, Е. А.

М69 Введение в дискретную математику : учебное пособие для студентов 1 курса факультета математики, информационных и авиационных технологий / Е. А. Михеева. – Ч. 2. – Ульяновск : УлГУ, 2016. – с. 124.

Учебное пособие основано на конспектах лекций, читавшихся автором на механико-математическом факультете, факультете информационных и телекоммуникационных технологий, факультете математики и информационных технологий, а ныне на факультете математики, информационных и авиационных технологий начиная с 1989/90 учебного года. Пособие охватывает программу второго семестра курса «Дискретная математика», которая включает такие разделы, как элементы математической логики, ограниченно-детерминированные (автоматные) функции, вычислимые функции, теория кодирования. В конце каждого раздела приведены задачи и упражнения в виде тестов для лучшего усвоения и закрепления теоретического материала.

Учебное пособие предназначено для студентов 1 курса факультета математики, информационных и авиационных технологий УлГУ. Оно может быть полезно для студентов вузов прикладных математических и инженерных специальностей, а также для преподавателей, ведущих курс дискретной математики.

УДК 519.7 + 519.1(075.8)

ББК 22.174 я73

© Михеева е. А., 2016 © Ульяновский государственный университет, 2016 оглавление

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Раздел 6. Элементы математической логики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Исчисление высказываний (ИВ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Язык ИВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Аксиомы ИВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

Правила вывода в ИВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Формулы алгебры высказываний (АВ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Соответствие между формулами АВ и ИВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

Непротиворечивость ИВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Полнота ИВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Предикаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Логические операции над предикатами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Теорема о полноте системы одноместных предикатов, заданных на

конечном множестве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

Кванторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Исчисление предикатов (ИП) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

Формулы ИП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Определение формул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

Замена переменных в формулах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

Аксиомы ИП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

Правила образования выводимых формул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Замена переменного высказывания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Замена переменного предиката . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Раздел 7. Ограниченно-детерминированные (автоматные) функции

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Детерминированные функции (д.функции) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Свойство детерминированной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Примеры детерминированных и недетерминированных функций . . . . . 54

Способ задания д.функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

Вес д.функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Ограниченно-детерминированные функции (о.д.функции) . . . . . . . . . . . 59

Способы задания о.д.функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

Конечные автоматы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70