3. Методы припасовывания и точечного преобразования

3.1. Метод припасовывания

Часто нелинейные системы представляются как ку­сочно-линейные, т. е. их динамические свойства описыва­ются линейными дифференциальными уравнениями, раз­ными для разных участков процесса управления. Тако­выми, например, были все нелинейные системы, рассмот­ренные в предыдущей главе.

Метод припасовывания состоит в том, что линейные дифференциальные уравнения решаются в общем виде отдельно для каждого участка процесса, на котором они справедливы. Затем на каждом участке в полученных решениях произвольные постоянные определяются таким образом, чтобы все соседние участки правильно состыко­вывались друг с другом. Это делается следующим обра­зом: по заданным начальным условиям процесса опреде­ляются произвольные постоянные в общем решении для первого участка. Значения фазовых координат в конце первого участка служат начальными условиями для вто­рого участка и т. д.

Вообще говоря, описанная схема метода припасовы­вания может быть применена и тогда, когда какой-либо участок описывается нелинейным дифференциальным уравнением при условии, что известно его общее решение.

Проиллюстрируем на простом примере использование метода припасовывания для определения переходного процесса и для определения периодического решения (автоколебаний). Дана система, схема которой изображе­на на рис. 2.1, нелинейная характеристика регу­лятора представлена на рис. 1.10. Уравнение объекта:

уравнение регулятора:

Общее уравнение замкнутой системы имеет вид

(3.1)

3.1.1.Определение переходного процесса.

Представим себе примерно возможный качественный вид процесса (рис. 3.1). Он разбивается на участки АВ, BD и т. д., внутри которых в соответствии с нелинейной характеристикой функция F(x) принимает постоянные значения или . Изобразим отдельно участки АВ и BD (рис. 3.2), отсчитывая время t на каждом из них от нуля.

Рис.3.1. Возможный

качественный вид

процесса

На участке АВ, согласно (3.1), уравнение системы

имеет первый интеграл в виде

(3.2)

а второй —

(3.3)

Начальные условия: при , , . По ним из (3.2) и (3.3) находим

(3.4)

(3.5)

а) б)

Рис.3.2. Отдельное изображение

участков АВ и BD

На участке BD, согласно (3.1), имеем

Первый интеграл этого уравнения

(3.6)

а второй —

(3.7)

Начальные условия для участка BD (в точке В) оп­ределяются на основании решения относительно точки В уравнения для предыдущего участка АВ. Из (3.2) находим

(3.8)

где известно из (3.4), а величина определяется из уравнения (3.3) при условии , т. е.

где известно из (3.4). Отсюда определяем и полу­ченное значение подставляем в формулу (3.8).

Таким образом, начальные условия для участка BD имеют вид

и, согласно (3.6), (3.7), получаем

На следующем за точкой D участке снова, как и на АВ, будет решаться уравнение

при этом произвольные постоянные определятся с учетом координат конца предыдущего участка BD и т. д.