Лекция № 9
3. Задачи и методы дискретного программирования
Дискретное программирование (ДИСП) - это раздел математического программирования, в котором изучаются методы решения оптимизационных задач с несвязной областью допустимых решений. В общем случае эта область распадается на ряд отдельных не связанных друг с другом подмножеств, а в частном случае состоит из отдельных точек целочисленной решетки.
В результате преобразований задача ДИСП (ЗДИСП) приводится к виду, где присутствуют дискретные оптимизационные переменные, т.е. такие, которые могут принимать лишь целочисленные значения. Формальная запись задачи дискретного программирования в наиболее общей форме имеет следующий вид:
(3.1)
где
- множество целых чисел размерности р.
Важность изучения (ЗДИСП) определяется их актуальностью в различных сферах человеческой деятельности. К таким задачам относятся задачи планирования, управления сложными операциями и проектирования сложных систем и их устройств.
Несвязность
области допустимых решений этого класса
задач порождает
дополнительные по сравнению с задачами
линейного и нелинейного
программирования проблемы разработки
методов их решения: невозможность
в полной мере использования итеративных
процедур непрерывного
движения в пространстве оптимизационных
переменных;
неправомерность
в общем случае применения подхода,
основанного на
округлении
наилучшего нецелочисленного решения
и др.
В подтверждение последнего
на рис.3.1 приведена геометрическая
интерпретация ЗДИСП
двумя целочисленными переменными,
линейными
ограничениями и целевой функцией
(решается задача
).
Рис.3.1.
Из рисунка видно, что ближайшие к оптимальному решению соответствующей ЗЛП (точка Б) целочисленные точки не принадлежат даже допустимой области исходной задачи, а единственное допустимое и, следовательно, оптимальное решение (точка А) находится достаточно далеко от оптимального нецелочисленного решения. Указанные особенности ЗДИСП приводят к тому, что алгоритмическая и вычислительная сложность их решения является, как правило, большей чем для задач с оптимизационными переменными, принимающими только действительные значения.
3.1. Постановки задач дискретного программирования
Многочисленные проблемы, возникающие при решении ЗДИСП, определили то обстоятельство, что наибольшее число разработанных эффективных методов решения ориентировано на задачи с линейными целевыми функциями и ограничениями. Поэтому большинство рассмотренных ниже задач относится именно к классу линейных. Отдельные постановки задач дискретного программирования объединяются в подклассы, что связано с разновидностями методов и алгоритмов их решения.
3.I.I. Задачи целочисленного программирования
Это задачи, в которых на все оптимизационные переменные наложено условие целочисленности.
Основная производственная задача для дискретного производства.
Необходимо выбрать план производства дискретной продукции таким образом, чтобы при ограничениях на используемые сырьевые ресурсы обеспечить наибольшую прибыль от ее реализации (см. соответствующую ЗЛП в разделе 1.1.1). Формальная запись задачи в матричной форме имеет вид:
, (3.2)
где
- n-мерное
множество целых неотрицательных чисел.
Задача о ранце.
Турист готовится к длительному переходу. Он может нести груз весом b, который может включать n типов предметов. Каждый отдельный предмет типа j весит a[j] (j=1,n), а полезность его использования в переходе оценивается числом c[j]. Необходимо определить, сколько предметов каждого типа турист должен положить в рюкзак, чтобы суммарная ценность снаряжения была максимальной. Формальная запись задачи имеет следующий вид:
, 
. (3.3)
К задаче такого рода в первом приближении может быть сведена задача комплектации оборудованием многоцелевого летательного аппарата.