3.4 Жасанды базис әдісі

2.2-мысалды шығару барысында кез келген сызықтық программалау есебі үшін жарамды базистік шешімді бірден алу мүмкін бола бермейтініне көзіміз жетті. Осындай жағдайда сызықтық программалау есебін шығару үшін жасанды базис әдісін пайдаланып, симплекс әдісін қолдануға болатындай алдын-ала дайындап алуға болады. Яғни жасанды базис әдісі алғашқы жарамды базистік шешімді табу қиындықтарынан құтылуға мүмкіндік береді.

Жасанды базис әдісінің алгоритмі

1. Есепті канондық түрге келтіреміз.

2. Алғашқы базистік шешімде теріс компонент беретін шектеулер жүйесінің әрбір теңдеуіне теңдік таңбасын өзгертпей, коэффициенттері бірге тең, оң жағындағы бос мүшенің таңбасымен бірдей теріс емес жасанды айнымалыларды енгіземіз.

3. Енгізілген барлық жасанды айнымалыларды, жасанды айнымалылар енгізілмеген теңдіктердегі қосымша айнымалыларды бірінші симплекс кестедегі негізгі айнымалылар бағанына жазамыз.

4. - сызықтық функциясын құрамыз, мұндағы - енгізілген жасанды айнымалылар, – еркін алынған үлкен сан, - функциясы.

5. функциясының максимумын іздейміз. Бұл кезде келесі жағдайларды ескеру қажет:

а) егер осы -есептің тиімді шешімінде барлық жасанды айнымалылар нөлге тең болса, онда бастапқы есептің сәйкес шешімі тиімді болады және мақсат функциялардың экстремумдары тең болады;

ә) егер осы -есептің тиімді шешімінде жасанды айнымалылардың ең болмағанда біреуі нөлден өзге болса, онда шектеулер жүйесі үйлесімді емес болғандықтан бастапқы есептің шешімі тиімді болмайды;

б) егер -есептің тиімді шешімі жоқ болса, онда бастапқы есептің де тиімді шешімі болмайды;

в) егер -есептің максимумы шексіздікке тең болса, онда бастапқы есеп те шешілмейтін болып табылады, және не бастапқы есептің максимумы шексіздікке тең болады, не есептің шарты қайшылықта болып келеді.

Егер негізгі айнымалылар бағанында жасанды айнымалылар жоқ болса, онда олар әрі қарай есептеулерде қолданылмайды, яғни барлық айнымалылар жазылған бағандардан жасанды айнымалыларды алып тастаймыз.

6. Есепті әрі қарай симплекс кестенің көмегімен шығарамыз.

Практикада негізінен функциясының минимумын табудың орнына функциясының максимумы ізделінеді.

2.7-мысал.

,

шектеулеріндегі

сызықтық функциясының минимум мәнін табу керек.

Шығарылуы. Бұл мысалды біз симплекс әдісін пайдаланып (2.2-мысал) шығарған болатынбыз. Ол кезде алғашқы базистік шешім жарамды емес болды да, біз есепті түрлендіріп, базистік шешім жарамды болатындай түрге келтірдік. Енді осы есептің жарамды базистік шешімін жасанды базис әдісін пайдаланып шығарайық.

Есепті канондық түрге келтіреміз:

Негізгі айнымалылар ретінде , айнымалыларын қарастыруға болады. Базистік шешімде екі теріс компонент бар. Сондықтан, және жасанды айнымалыны қосамыз:

функциясының минимумын табудың орнына функцияның максимумын табамыз:

1-кесте

Базис	Бос мүше	Айнымалылар									Бағалау қатынасы
	3	-1	-1	1	1	1	-1	0	1	0	3
	2	2	4	1	-1	0	0	-1	0	1	1/2
	0	14	34	13	5	8	0	0	0	0
			-5	-2	0	-

Бағалау қатынасынан көріп отырғанымыздай екінші жол шешуші жол болып табылады . Базистегі айнымалысының орнына айнымалысын жазамыз да, бағанын жазбай тастап кетеміз. Бір жасанды айнымалыдан құтылдық.

2-кесте

Базис	Бос мүше	Айнымалылар								Бағалау қатынасы
	5/2	-3/2	0	3/4	5/4	1	-1	1/4	1	2
	1/2	1/2	1	1/4	-1/4	0	0	-1/4	0
	-17	-3	0	9/2	27/2	8	0	17/2	0
		3/2	0	-3/4	-5/4	-		-1/4	0

Бірінші жол - шешуші жол . Базистегі айнымалысының орнына айнымалысын жазамыз да, бағанын жазбаймыз. Жасанды айнымалылардан құтылдық. Соңғы жол жазылмайды. Әрі қарай симплекс кестені жалғастырамыз.

3-кесте

Базис	Бос мүше	Айнымалылар							Бағалау қатынасы
	2	-6/5	0	3/5	1	4/5	-4/5	1/5	10/3
	1	1/5	1	2/5	0	1/5	-1/5	-1/5	5/2
	-44	66/5	0	-18/5	0	-14/5	54/5	29/5

Соңғы жолда теріс элементтер бар, яғни, тиімділік критерийі орындалмайды. Модулі бойынша ең үлкен теріс элемент орналасқан баған – шешуші баған.

4-кесте

Базис	Бос мүше	Айнымалылар							Бағалау қатынасы
	1/2	-3/2	-3/2	0	1	1/2	-1/2	1/2	1
	5/2	1/2	5/2	1	0	1/2	-1/2	-1/2	5
	-35	15	9	0	0	-1	9	4

Соңғы жолда бір теріс элемент бар, тиімділік критерийі орындалмайды.

5-кесте

Базис	Бос мүше	Айнымалылар							Бағалау қатынасы
	1	-3	-3	0	2	1	-1	1	1
	2	2	4	1	-1	0	0	-1	-1
	-34	12	6	0	2	0	8	5	5

Соңғы жолда теріс элемент жоқ, демек, тиімділік критерийі орындалады.

Жауабы. , , , .

4-лекция. Тасымалдау есебі