2.2 Сызықтық программалау есептеріне мысалдар
Сызықтық программалау теориясында жиі кездесетін мысалдардың экономикалық-моделін құрайық.
Өндірісті жоспарлау есебі (ресурстарды пайдалану жайындағы есеп).
Кәсіпорын
төрт түрлі
,
,
,
өнім өндіру керек. Өнімдерді дайындау
үшін шикі заттардың қажет болатыны
белгілі. Айталық
,
,
,
,
бес түрлі шикі зат пайдаланылсын және
олардың қорлары
,
,
,
,
бірлік сандарымен шектелген болсын.
Шикі заттардың қорлары, өнімнің бір
бірлігін даярлауға жұмсалатын шикі
заттың
(
-өнім
түрі,
-шикі
зат түрі) бірлік саны 1.1-кестеде
келтірілген.
1.1-кесте. Өндірісті жоспарлау есебіне қажетті мәліметтер
Шикі зат түрі |
Шикі зат қоры |
Өнімнің бір бірлігін даярлауға жұмсалатын шикі заттың бірлік саны |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Әрбір
өндірілген өнім бірлігінен кәсіпорынға
сәйкес
,
,
,
пайда түседі.
Өндірілген өнімді жүзеге асырғанда пайда ең көп (максималды) болатындай өнімді өндіру жоспарын құру керек.
Шығарылуы. Есептің экономикалық-математикалық моделін құру (есепті сызықтық программалау есебі түрінде жазу) керек.
,
,
,
арқылы өндіруге жоспарланған сәйкес
,
,
,
өнім бірліктерінің санын белгілейміз.
Өнімді
өндіру үшін бізге шикі заттардың қоры
жеткілікті болу керек. Яғни өнімді
даярлау үшін
ресурсының
бірлігі,
ресурсының
бірлігі,
ресурсының
бірлігі,
ресурсының
бірлігі,
ресурсының
бірлігі талап етіледі;
,
,
,
,
ресурстарын тұтыну олардың қорларынан,
сәйкес
,
,
,
,
сандарынан аспау керек болғандықтан,
ресурстарды тұтынумен олардың қорларының
арасындағы байланыс келесі
шектеулер-теңсіздіктер арқылы өрнектеледі:
(1.1)
Сонымен қатар есептің мағынасы бойынша өндіруге жоспарланған өнім бірліктерінің саны теріс болуы мүмкін емес болғандықтан:
(
). (1.2)
( , , , ) жоспарымен түсетін пайда келесі түрде анықталады:
. (1.3)
Сонымен,
есептің экономикалық-математикалық
моделі: (1.1)
шектеулер жүйесін қанағаттандыратын,
(1.2)
шарттары орындалатындай және (1.3)
функция максимум мәнді қабылдайтындай
өнім өндірудің
жоспарын табу керек.
Шикі затпен қамтамасыздандыру туралы есеп.
Белгілі
бір шикі заттармен қамтамасыздандыруды
қажет ететін
,
,
үш өндірістік кәсіпорын бар болсын.
Әрбір кәсіпорынға сәйкес
,
,
бірлікке тең шикі зат қажет. Шикі зат
сақтайтын
,
,
,
,
бес қойма бар. Олар кәсіпорыннан белгілі
бір қашықтықта орналасқан және әр түрлі
тарифтермен кәсіпорындарға қатынау
мүмкіндігі бар.
кәсіпорын
қоймадан шикізат алу үшін
ақша бірлігі жұмсалады, мұндағы
-кәсіпорынның,
-қойманың
нөмірін көрсетеді. Қажетті мәліметтер
1.2-кестеде келтірілген.
1.2-кесте. Кәсіпорынды қажетті шикі затпен қамтамасыздандыру туралы мәліметтер
Кәсіпорын |
Қойма |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Әрбір қойманың өндірістік қуаттылығына байланысты қоймадағы шикі заттың саны шектеулі: , , , , қоймаларында сәйкес , , , , бірліктегі шикі заттар бар. Аз шығын жұмсап кәсіпорындарды қажетті шикізатпен қамтамасыздандыратындай жоспар (қай қоймадан, қайда және қанша мөлшерде шикізат жеткізу керек) құру керек.
Шығарылуы.
Есептің экономикалық-математикалық
моделін құрамыз.
арқылы
-қоймадан
-кәсіпорынға
алынатын шикі заттың санын белгілейміз.
Жоспар шешімнің 15 элементінен тұрады:
Әрбір кәсіпорынға қаншалықты шикі заттың қажеттілігін ескеріп шектеу енгіземіз:
(1.4)
Енді қойманың мүмкіндіктерінен алынатын шектеулерді жазамыз, яғни қойманың өндірістік қуаттылығына байланысты қоймадағы шикі заттардың санының шектеулілігін ескереміз:
(1.5)
Минимизациялау талап етілетін шикі затқа жұмсалынатын жалпы шығынды жазамыз. Ол үшін 1.2-кестедегі мәліметтерді пайдаланамыз:
. (1.6)
Сонымен, есептің экономикалық-математикалық моделі: (1.4) шектеулер-теңдіктер жүйесін, (1.5) шектеулер-теңсіздіктер жүйесін қанағаттандыратын, және (1.6) сызықтық функция минимум мәнді қабылдайтындай айнымалыларының теріс емес мәндерін табу керек.