8.4 Фибоначчи әдісі

Фибоначчи әдісі біртіндеп іздеу әдістерінің ішіндегі ең «жақсы» (төңіректеу кесіндісінің ұзындығын максималды кішірейту мағынасында) әдіс болып табылады.

Фибоначчи әдісі бойынша, бірінші қадамда (итерацияда) кесіндісінің ортасына қатысты симметриялы орналасқан және нүктелеріндегі ( ) функциясының екі мәні есептеледі. Есептеу нәтижесі бойынша кесіндінің бір бөлігі ( не ) қарастырылмайды, және есептеулер жүргізілген нүктелердің (сәйкес не ) біреуі кесіндісінде қалады. Әрбір келесі қадамда кезектегі есептелетін нүкте қалған нүктеге симметриялы таңдалынады. Сонымен, бірінші итерацияда функциясының екі мәні, ал келесі итерацияларда – бір мәні есептеледі. Сондықтан, есептеулер саны берілген кезде қадам (итерация) орындалады.

және , мәндері есептелген кезде келесі түрде анықталатын Фибоначчи сандары пайдаланылады:

, , .

Берілген есептеу санының орындалуы есептелудің аяқталғанын білдіреді.

Сонымен, унимодальды функцияның минимумын Фибоначчи әдісімен табу алгоритмін (ретін) көрсетуге болады:

1. мәні беріледі, , – Фибоначчи саны анықталады,

шартынан мәні таңдалынады. деп ұйғарылады.

2. -ші итерацияда келесі мәндер есептеледі:

,

,

, .

Егер болса, онда , , ; егер болса, онда , , .

3. Есептеудің аяқталу шарты тексеріледі:

.

Егер шарт орындалса, онда қорытынды төңіректеу кесіндісі, минимум нүктесі мен минимум шамаларының бағасы анықталады, есептеулер тоқтатылады.

Егер шарт орындалмаса, онда деп ұйғарылып алгоритмнің 2-қадамына көшіріледі.

Ескерту. -ші итерацияда алдыңғы итерацияда анықталмаған , нүктесі есептеледі.

Қорытынды төңіректеу кесіндісінде қалған , нүктесі минимум нүктесінің бағалауы болып табылады.

8.3-мысал.

кесіндісінде берілген функциясының минимумын дәлдікпен, мәнінде Фибоначчи әдісін пайдаланып анықтау керек.

Шығарылуы. Берілген есеп үшін итерация орындалады.

, Фибоначчи сандарын анықтаймыз:

, , , , , , , .

.

болсын.

Бірінші итерация. .

, .

, , , .

Екінші итерация. .

.

, .

, , , .

Үшінші итерация. .

.

, .

, , , .

Төртінші итерация. .

, .

, , , .

Бесінші итерация. .

.

, .

, , , .

Алтыншы итерация. .

.

, .

, , .

Алгоритмнің 3-қадамында көрсетілген шарт орындалады ( ), есептеулер тоқтатылады.

Есептеулер нәтижелерін кестеге жазайық:

Итерация саны
0	-2	3
1	-0,09	3	-0,09	1,09	1,9059		-13,2026
2	1,09	3	1,09	1,8192	-13,2026		-28,9382
3	1,09	2,2713	1,8192	2,2713	-28,9382		-26,936
4	1,5425	2,2713	1,5425	1,8192	-24,2487		-28,9382
5	1,8192	2,2713	1,8192	1,995	-28,9382		-29,9991
6	1,8192	2,0952	1,995	2,0952	-29,9991		-29,6562

Төңіректік минимум нүктесі – аралығында, , .

Жауабы. , , .

9-лекция. Алтын қима әдісі

нүктесі кесіндісін бірдей емес екі бөлікке бөлсін. Егер кесіндісінің толық ұзындығының үлкен бөлігінің ұзындығына қатынасы үлкен бөліктің ұзындығының кіші бөлігінің ұзындығына қатынасына тең болса, онда нүктесі кесіндісінің алтын қимасы болып табылады (8.1-сурет), яғни егер қатынасы ақиқат болса, онда – алтын қима.

8.1- сурет. – кесіндісінің алтын қимасы

Осылайша, кесіндісінің ортасына қатысты нүктесіне симметриялы нүктесі осы кесіндінің екінші алтын қимасы болып табылады. және нүктелері кесіндісінің ортасына қатысты симметриялы орналасқандықтан,

. (8.5)

,

,

алтын қима анықтамасын пайдалана отырып мәнін есептейміз:

, .

.

8 .2-сурет. , – кесіндісінің алтын қималары

Теорема 8.4. , – кесіндісінің алтын қималары болсын, . Сонда – кесіндісінің, – кесіндісінің алтын қимасы болып табылады.

8.4-теореманың негізінде бастапқы итерациядан басқа, әрбір итерацияда алтын қиманың бір ғана нүктесін және осы нүктедегі функцияның мәнін есептеу қажет. Осы мағынада қарастырғанда алтын қима әдісінің алдында қарастырған әдістерден (әрбір итерацияда жаңа екі нүктедегі функцияның мәндері есептеледі) артықшылығы байқалады.

Алтын қима әдісінде төңіректеу кесіндісінің ұзындығын кішірейту жылдамдығы дихотомия әдісіне қарағанда едәуір төмен.

Соған қарамастан, алтын қима әдісінде берілген дәлдікке жету үшін функцияны есептеудің саны аз болғандықтан бұл әдіс дихотомия әдісімен салыстырғанда тиімді болып табылады.

Бірақ, алтын қима нүктелерін есептеу барысында иррационал сан кездесетіндіктен алтын қима нүктесі қандай да бір қателікпен есептеледі.

Алтын қиманың қасиеттері:

кесіндісінің және екі алтын қимасы болсын, сонда бір мезгілде кесіндісінің, ал – кесіндісінің алтын қимасы болып табылады (8.3-сурет).

8.3- сурет.

– және кесінділерінің алтын қимасы,

– және кесінділерінің алтын қимасы

Унимодальды функциясының төңіректік минимум нүктесіне тарылатын бірінің ішіне бірі тізбектей орналасқан , ( ) кесінділерін алтын қима әдісімен табудың алгоритмі

1. (8.5) формула бойынша болғанда бастапқы кесіндісінде және нүктелерін, содан кейін айырымын табамыз.

2. Функцияның және мәндерін есептейміз.

3. Функцияның унимодальдылық аралығын тарылту сұлбасына сәйкес тарылған кесіндіні құрамыз.

4. Келесі қадамға дайындала отырып және алтын қима қасиетін пайдалана отырып, кесіндісінде және – екі алтын қиманы табамыз. Бұл жерде үш жағдай болуы мүмкін:

1. , , , , , .

2. , , , , , .

3. , , , .

Енді қарастырылған сұлба бойынша, 1-ші және 2-ші жағдайлардағы немесе мақсат функцияларының мәндері алдыңғы қадамда есептелгенін ескере отырып , және т.б. кесінділерді табамыз. Жуық теңдігінің -ші қадамдағы есептеу дәлдігін

(8.6)

теңсіздігімен бағалауға болады, мұндағы .

8.4-мысал.

кесіндісінде берілген функциясының минимумын дәлдікпен алтын қима әдісін пайдаланып анықтау керек.

, , .

Шығарылуы. теңсіздігін есептеудің ең аз қадам санын анықтаймыз.

, , . .

формуласын пайдаланып айнымалылардың мәндерін есептейміз.

, , , , , , , .

1. , , , , , , , .

2. , , , , , , , .

3. , , , , , , , .

4. , , , , , , , .

5. , , , , , , , .

6. , , , , , , , .

7. , , , , , , , .

8. , , , , , , , .

9. , , , , , , .

Алгоритмнің 9-қадамында есептеуді тоқтатамыз. Себебі, талап етілген дәлдік алынды: .

Есептеулер нәтижелерін кестеге жазайық:

Итерация саны
0	-2	3	-0,09	1,09	1,9059		-13,2026	5
1	-0,09	3	1,09	1,82	-13,2026		-28,9471	3,09
2	1,09	3	1,82	2,27	-28,9471		-26,966	1,91
3	1,09	2,27	1,54	1,82	-24,1948		-28,9471	1,18
4	1,54	2,27	1,82	1,99	-28,9471		-29,9964	0,73
5	1,88	2,27	1,99	2,1	-29,9964		-29,6197	0,45
6	1,82	2,1	1,93	1,99	-29,8304		-29,9964	0,28
7	1,93	2,1	1,99	2,04	-29,9964		-29,9411	0,17
8	1,93	2,04	1,98	1,99	-29,9857		-29,9964	0,11
9	1,98	2,04	1,99	2,03	-29,9964		-29,967	0,06

Төңіректік минимум нүктесі – аралығында, , .

Жауабы. , , .

10-лекция.Градиенттік әдістер

сызықтық емес программалау есебі берілсін, мұндағы – жарамды жиын.

(8.7)

нүктелер тізбегін құру керек. Жалпы нүктесі ретінде шешімдер облысының кез келген нүктесі алынады және әрбір келесі нүкте алдыңғы нүктеден мына формуланың көмегімен анықталады:

, , (8.8)

мұндағы – бағыт, ал – қадам ұзындығы. Бұл жерде мен (8.7) тізбегін тиімді шешімге жинақталуын қамтамасыз ету керек. Жалпы жағдайда жуықтау тізбегін алу ақырсыз болып келеді. Кей жағдайда үрдіс ақырлы итерация санында аяқталып, төңіректік оптимумды, ал дөңес программалау есептерінде ауқымды оптимумды да беруі мүмкін.

Мақсат функцияның градиентінің бағыты оның тез өсуінің бағыты болғандықтан, ойыс функцияның максимумын (дөңес функцияның минимумын) іздеген кезде ретінде (- ) мәні алынады және (8.8) формула мына түрде жазылады:

, (егер ізделінсе) (8.9)

немесе

, (егер ізделінсе) (8.9’)

(8.9) (немесе (8.9’)) формуламен табылатын және (8.7) итерациялық тізбекті анықтайтын әдістер градиенттік әдістер деп аталады.

Жоғарыда айтып кеткеніміздей градиенттік әдістер бір-бірінен – қадам ұзындығын таңдау және егер нүктесі шешімдер жиынының шекарасында және (8.9) формула нүктесін осы облыстың шекарасынан шығаратын болған кезде нүктесін табу алгоритмін таңдау тәсілдерімен ерекшеленеді (қадам ұзындығын таңдау – өте маңызды, себебі ізделінді оптимумды беретін нүктеден өтіп кетуіміз мүмкін).