Оңтайландырудың классикалық теориясының негіздері

5.1 Функцияның экстремумы

жиыны және жиынында анықталған функциясы берілсін.

Кез келген үшін

(5.1)

теңсіздігі орындалатындай шар бар болса, онда нүктесі функциясының төңіректік минимум нүктесі деп аталады.

Басқаша айтқанда, егер барлық , үшін

(5.1’)

орындалатындай саны бар болса, онда нүктесі функциясының төңіректік минимум нүктесі деп аталады.

Егер (5.1) ((5.1’)) теңсіздік қатаң түрде орындалса ( немесе ), онда – қатаң төңіректік минимум нүктесі деп аталады.

Егер (5.1) ((5.1’)) теңсіздік жиынындағы кез келген үшін орындалса, онда нүктесі функциясының ауқымды минимум нүктесі деп аталады.

Кез келген үшін

(5.2)

теңсіздігі орындалатындай шар бар болса, онда нүктесі функциясының төңіректік максимум нүктесі деп аталады.

Басқаша айтқанда, егер барлық , үшін

(5.2’)

орындалатындай саны бар болса, онда нүктесі функциясының төңіректік максимум нүктесі деп аталады.

Егер (5.2) ((5.2’)) теңсіздік қатаң түрде орындалса ( немесе ), онда – қатаң төңіректік максимум нүктесі деп аталады.

Егер (5.2) ((5.2’)) теңсіздік жиынындағы кез келген үшін орындалса, онда нүктесі функциясының ауқымды максимум нүктесі деп аталады.

функциясының төңіректік минимум және максимум нүктелері осы функцияның экстремум нүктелері деп аталады.

Егер

а) функцияның – төңіректік минимум нүктесі кесіндісінде жатса;

ә) минимум нүктесінің бір жағынан алынған кесіндінің кез келген және нүктелер үшін минимум нүктесіне жақынырақ нүктесіне функияның аз мәні сәйкес келсе, яғни теңсіздігі үшін де, теңсіздігі үшін де теңсіздігі ақиқат болса, онда үзіліссіз функциясы кесіндісінде унимодальды деп аталады.

Теорема 5.1 ( кесіндісінде функциясының унимодальдылығының жеткілікті шарты). Егер функциясы кесіндісінде екі рет дифференциалданса, және осы кесіндінің кез келген нүктесінде болса, онда функциясы кесіндісінде унимодальды.

5.1-мысал.

функциясы үшін функция унимодальды болатын аралығын табу керек.

Шығарылуы. функциясының анықталу облысы – . Функцияның бірінші және екінші ретті туындыларын табамыз:

, , .

. Демек, функциясы аралығында унимодальды.

Жауабы. Берілген функция аралығында унимодальды.

5.2 Оңтайландыру есебінің қойылуы

Жалпы жағдайда оңтайландыру есебі, немесе экстремумды анықтау есесбі былай қойылады: жиынында анықталған функциясы және жиыны берілсін.

функциясы экстремум (минимум немесе максимум) мәнін қабылдайтындай нүктесін табу керек, яғни

және . (5.3)

функциясының барлық төңіректік минимумын (максимумын) іздеу есебі шартсыз оңтайландыру есебі деп, функциясы – мақсат функциясы деп, айнымалылары басқарылатын айнымалылар деп, – жарамды жиын деп, және басқарылатын айнымалылардың жиынында жататын кез келген мәндер жиыны – оңтайландыру есебінің жарамды шешімі деп аталады.

мақсат функциясының төңіректік минимум нүктесін іздеу есебінің символдық жазылуы:

. (5.4)

Осылайша, мақсат функциясының төңіректік максимум нүктесін іздеу есебінің символдық жазылуы:

. (5.5)

Осы есептердің төңіректік және ауқымды шешімдерінің жиыны беттескенде (5.5) есеп келесі есепке пара-пар болады:

.

функциясы өзінің экстремумын қабылдайтын ізделінді нүктесі функциясының анықталу облысы мен жарамды жиынның қиылысуында жатады.

Басқаша айтқанда, егер және жиындары кеңістігімен толықтай беттессе , онда мұндай есеп шартсыз экстремум есебі деп аталады. Егер немесе жиындарының біреуі кеңістігінің жеке ішкі жиыны болса, немесе және жиындары қиылысса ( Ø), онда мұндай есеп шартты экстремум есебі деп аталады, кері жағдайда ( Ø) экстремум нүктесі болмайды.

Дербес жағдайды қарастырайық: егер және жиындары нүктесінде қиылысса, онда экстремумды іздеу мәселесін қозғаудың қажеті жоқ, осы нүктесі жалғыз жарамды шешім болып табылады.

Көбінесе шартты экстремум есебінде жарамды шешімдер жиынының өзі емес, ал оны анықтайтын қатынастар жүйесі беріледі:

, , (5.6)

яғни

,

немесе жиыны бір мезгілде айқындалған түрде де, шектеулер жүйесімен де берілуі мүмкін.

Немесе

- функциясы экстремумды қабылдайтындай нүктесін табу мақсат функциясының шартсыз экстремум есебі болып табылады:

;

- функциясы экстремумды қабылдайтындай нүктесін табу мақсат функциясының шартты экстремум есебі болып табылады:

,

бұл жерде нүктесі

,

шектеулерін қанағаттандыру керек, мұндағы қандайда бір жиынында берілген, яғни ,

.

Бұл жерде – және функцияларының анықталу облысы болып табылады.

Егер шектеу басқа шектеулердің салдары болса, онда ол артылған шектеу деп аталады.

түріндегі шарт тура шектеу деп аталады.

Практикалық қосымшаларда шартсыз экстремумды табу есебі өте сирек кездеседі.

Егер шартты экстремум нүктесінде шектеулер-теңсіздіктерінің біреуі теңдік ретінде орындалса, онда осындай шектеуді туғыздырып отырған ресурс – дефицит деп, ал шектеудің өзі – белсенді деп аталады. Егер шартты экстремум нүктесінде шектеулер қатаң теңсіздіктермен берілсе және теңсіздіктердің біреуі теңдік ретінде орындалса, сәйкес ресурс – дефицит емес деп, ал шектеудің өзі – белсенді емес деп аталады. Шектеулер-теңдеулер өз алдына – белсенді шектеулер болып табылады.

Егер функциясының – шартсыз төңіректік экстремум нүктесі жарамды мәндер жиынының ішінде жатса, онда шектеулер бірден орындалады, ал егер нүктесі жарамды мәндер жиынынан тыс жатса, онда функциясының шартты төңіректік экстремум нүктесі жиынының шекарасында жатыр, яғни шектеулер-теңсіздіктер шектеулер-теңдіктерге айналады.

Шектеулері тек қана теңдіктермен берілген есептерде шектеулер саны айнымалылар санынан кіші болуы керек , болған жағдайда (5.6) шектеулерде кем дегенде артылған шектеу, не (5.6) шектеулер жүйесі қайта анықталған болып табылады, демек, жарамды шешімі жоқ. Жүйе қайта анықталған жағдайда жарамды шешім болмайды, және ол қарастырылмайды. Артылған шектеулерді (егер олар бар болса) жойғаннан кейін (5.6) жүйеде тәуелсіз шектеулер саны болады. болған жағдайда жарамды шешім біреу болады, және ол қызығушылық туғызбайды. болғанда тиімді шешімді іздеу есебінің мағынасы болады.