2.3.Закон Дарси для двухфазного течения несмешивающихся жидкостей

Лекция № 7

Рассмотренный закон Дарси можно распространить на случай совместного течения двух несмешивающихся жидкостей, обобщив понятие проницаемости. Введем понятие скорости фильтрации данной i-й фазы , определив его как вектор, проекция которого на любое направление l равна отношению объемного расхода данной фазы к площадке S_i, перпендикулярной этому направлению: .

При фильтрации двух несмешивающихся жидкостей вводят понятие насыщенности порового пространства фазой, которую определяют как относительную часть занятого ею объема активных пор: , где: i = 1, 2; ₁ и ₂ – насыщенность смачивающей и не смачивающей фазами, v_i – объем пор, занимаемой одной из жидкостью.

Из двух насыщенностей только одна независимая, т.к. очевидно соотношение ₁ + ₂ = 1 и поэтому характеристики движения в потоке двухфазной жидкости представляются в функции от насыщенности первой (смачивающей) фазы и вводится обозначение .

Экспериментально установлено, что расход каждой фазы подчиняется закону Дарси: ; , где: ₁ и ₂ – скорости фильтрации фаз; ₁ и ₂ – динамические коэффициенты жидкостей; P₁ и P₂ – разности давлений в соответствующих фазах; и - фазовые проницаемости. В общем случае перепады давлений в фазах P₁  P₂ из-за сил поверхностного натяжения. Величины фазовых проницаемостей зависят, прежде всего, от абсолютной проницаемости k, определяемой по данным фильтрации однородной жидкости, а также от насыщенности пористой среды каждой фазой.

Обычно при описании двухфазных течений вместо фазовых проницаемостей вводят относительные проницаемости k_i фаз, определяемые из соотношений: и .

В большинстве опытов доказано, что эти проницаемости зависят в основном только от насыщения, т.е. k₁ = k₁() и k₂ = k₂().

Тогда закон Дарси для каждой из фаз записывается:

; где i = 1, 2.

Предельная насыщенность – это такая насыщенность, ниже которой фаза неподвижна. Т.о. движение первой фазы (воды) может происходить в том случае, если   _*, а движение второй (нефти) может происходить, если   *. Совместное течение фаз имеет место в интервале изменения насыщенностей _   *.

Отметим особенности относительных фазовых проницаемостей, представленных на графике:

k₁ () + k₂ ()  1; 0    1.

Графики k₁() и k₂() аcсимметричны. Относительная проницаемость смачивающей фазы (воды) k₁() при  = * значительно меньше 1, в то время как аналогичная проницаемость не смачивающей фазы (нефти) при =* близка к 1. Это говорит о том, что присутствие связанной воды мало влияет на течение нефти, в то время как присутствие нефти сильно «стесняет» течение воды.

Отметим также, что проницаемость k_i () зависит не от размеров пор, а от их формы и расположения.

Введенные выше понятия можно обобщить на случай течения трех несмешивающихся фаз: воды, нефти и газа. В этом случае относительные фазовые проницаемости зависят уже от двух насыщенностей _н и _в, т.к. _г=1 - _н - _в:

k_в = k_в(_н, _в); k_н = k_н(_н, _в) и k_г = k_г(_н, _в).

Рис. 7.2. Диаграмма фазовых проницаемостей для

а) нефти k_н = k_н(_в, _н); б) газа k_г = k_г(_в, _н)

Принцип построения таких диаграмм следующий. Параллельно каждой стороне треугольника проводятся прямые линии, вдоль которых насыщенность каждой из трех фаз постоянна. Каждая точка на диаграмме характеризуется значениями насыщения каждой из трех фаз. Линии, которые наносятся и подписываются, являются линиями равной относительной проницаемости по какой - либо одной фазе.