Раздел 2. Закон Дарси в задачах подземной гидравлики

2.1. Общие положения

Лекция № 6

Одними из основных фильтрационных характеристик являются объемный расход флюида (Q) вектор скорости фильтрации .

Объемный расход-это объем флюида, проходящего в единицу времени через произвольную площадку S.

Определим скорость фильтрации как вектор, проекция которого на любое направление, равна отношению объемного расхода (потока) флюида к площадке S, перпендикулярной к этому направлению.

; ;

или через массовый расход (Q_m):

; ,

где: Q – объемный расход флюида, м³/с; Q_m – массовый расход флюида, кг/с;  – плотность, кг/м³; – скорость фильтрации в направлении нормали и площади, м/с. В этой формуле массовый расход Q_m делится на полную площадь, а не на часть, занятую порами.

Рис. 6.1.

Поэтому, различают еще одну скоростную характеристику – среднюю скорость фильтрации. Она получается путем деления расхода не на всю площадь, а на суммарную площадь активных пор: ,

отсюда = mV_n, где m – пористость. Поскольку m1, следует, что V_n .

Основное соотношение теории фильтрации - закон фильтрации. Закон устанавливает связь между скоростью фильтрации и тем полем давления, которое вызывает фильтрационное течение.

Первые экспериментальные наблюдения за движением воды в трубах, заполненных песком, провели французские инженеры Дарси и Дюпюи. Этими работами положено начало теории фильтрации. Именем Дарси назван линейный закон фильтрации, который он установил, создавая первую совершенную систему водоснабжения в Европе.

В результате тщательно проверенных экспериментов установлена, получившая широкую известность, экспериментальная формула, имеющая несколько форм (вариантов) записи:

;

где: К_ф – коэффициент, названный коэффициентом фильтрации, зависящий от структуры пористости и свойств флюида; Н₁ и Н₂ – напоры воды на верхнем и нижнем сечениях трубы; Q - объемный расход жидкости; i – градиент напора; L - длина и S - площадь сечения трубы с песком (рис. 6.2).

Последняя формула читается так: скорость фильтрации пропорциональна градиенту напора.

В общем случае напор Н – это давление, выраженное в высоте столба жидкости:

; ,

где: Р₁ и Р₂ – давления замеренные на верхнем и нижнем срезе образца в трубе.

Скорости фильтрации – величины малые, поэтому = 0 и поэтому:

Рис.6.2

, gH1 = P*1 = gZ1+P1;

gH2 = P*2 = gZ2+P2

где: P*₁ и P*₂ – приведенные давления, обычно равные соответственно P₁ и P₂ при малых gZ.

Коэффициент фильтрации К_ф используют обычно в гидротехнических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью - водой.

При исследовании фильтрации сложных флюидов (смеси нефти, газа и воды) необходимо разделить влияние свойств пористой среды и флюида, заключенных в К_ф. Поэтому используют формулу Дарси в несколько ином виде, где вместо К_ф фигурирует k - коэффициент проницаемости, зависящий только от структуры пористой среды, а свойства жидкости задаются динамически вязкостью () и плотностью ()

Другая, более распространенная, форма записи уравнения Дарси

,

где:  - коэффициент вязкости; Р* = gH = Р+gz - приведенное давление, совпадающее с истинным при z = 0; k - коэффициент проницаемости, который не зависит от свойств жидкости и характеризует пористую среду. Он имеет размеренность площади [k]_си = м². При этом проницаемость большинства горных пород выражается весьма малыми числами. Так, например: проницаемость крупнозернистых песчаников составляет 10^-12-10^-13 м² (1-0,1 мкмм²); проницаемость плотных песчаников 10^-14-10^-15м². [k]_си = м² – очень крупная единица измерения проницаемости. Распространена единица Дарси 1D = 1.0210^-12 м² Размерность []_си=

Далее будем считать, что приведенное давление совпадает с истинным, тогда 1-я и 2-я формы уравнения Дарси запишутся:

В последней формуле скорость фильтрации прямо пропорциональна проницаемости и градиенту давления и обратно пропорциональна вязкости жидкости.

Закон Дарси можно записать еще в 3-ей форме выражения

Закон читается так: потеря давления при фильтрации идет на преодоление сил вязкого трения и пропорциональна скорости фильтрации .

В лабораторных условиях коэффициент фильтрации К_ф или проницаемости k определяют при помощи пермеаметра – прибора, похожего на установку Дарси (рис. 6.3).

Зная параметры установки (S, L), поддерживая постоянный расход Q и измеряя разность напоров Н, вычисляют:

; .

В природных условиях коэффициент k определяют в результате исследования скважин путем установления зависимости между изменением давления в скважине и ее дебитом.

Рис.6.3