2.4. Применение методов теории размерностей в подземной гидравлике
1.Методы теории размерностей часто применяются в подземной гидравлике. Они оказываются полезными уже при выводе основного закона фильтрации — закона Дарси.
Основное предположение при выводе этого закона заключается в том, что вектор скорости фильтрации в данной точке пористой среды определяется вектором градиента давления gradp и характеристиками пористой среды и жидкости.
Пористая среда считается однородной и изотропной и характеризуется следующими параметрами: средним размером пор d, безразмерным коэффициентом пористости m и некоторыми другими характеристиками, которые также можно считать безразмерными, например кривой распределения пор по размерам.
Фильтрующаяся жидкость, которую мы сперва считаем однокомпонентной и ньютоновской, характеризуется только вязкостью и плотностью.
Таким образом, мы принимаем, что скорость фильтрации w зависит от параметров gradp, d, m , , , а также от других безразмерных характеристик пористой среды, влияние которых мы здесь не обсуждаем.
Среди перечисленных параметров только одна величина gradp является вектором. Отсюда следует, что направления векторов скорости фильтрации и градиента давления должны совпадать. Если бы вектор скорости фильтрации составлял конечный угол с вектором градиента давления, то при повороте малого элемента пористой среды вокруг направления вектора градиента давления он тоже должен был бы повернуться вместе с элементом. Но поскольку при таком повороте свойства течения не должны меняться, так как среда изотропна, вектор скорости фильтрации должен оставаться неизменным. Это может быть только в том случае, если вектор скорости направлен вдоль вектора градиента давления. Таким образом, получаем gradp=с, где с — скаляр, зависящий только от модуля вектора скорости, а также от величин d, m , , ..
Закон Дарси справедлив для медленных фильтрационных процессов, для которых силы инерции несущественны. Поэтому для таких процессов несущественна плотность жидкости , определяющая свойство ее инерции
Таким образом, для медленных без инерционных течений ньютоновской жидкости в изотропной пористой среде коэффициент пропорциональности C является функцией от определяющих параметров C=f (, d, m, ) Размерности определяемого и определяющих параметров, как нетрудно видеть, записываются в виде
Первое из этих соотношений следует из того, что размерности обеих частей уравнения gradp=C должны быть одинаковыми. Как видно, в данном случае п = 4, k = 3, так что п—k = 1. Размерности параметров , d и , как легко проверит , независимы; безразмерным параметром подобия здесь оказывается четвертый определяющий параметр - коэффициент пористости m. Имеем, очевидно,
так что
и анализ размерности дает окончательно
Заметим, что в данном случае независимость С от скорости получилась из одного анализа размерностей.
Обозначим величину d2/Ф(m) через К. Данная величина называется коэффициентом проницаемости. Закон фильтрации gradp=C приводится при этом к виду
=k/ grad р
2.Если инерция жидкости существенна, что обязательно будет при больших скоростях фильтрации, например в призабойной зоне скважины, то к числу определяющих параметров добавится плотность жидкости , а к числу безразмерных параметров подобия — параметр П2 = d/, называемый числом Рейнольдса фильтрационного движения в порах.
Тогда,
cоотношение
gradp=C
согласно анализу размерностей
переписывается в более сложном виде
При малых значениях параметра П2 функцию Фk согласно формуле конечных приращений Лагранжа можно представить в виде
Согласно сказанному в п. 1 величина Фk (0, m) должна быть равной единице. Подставляя найденное Фk в предыдущую формулу и вспоминая, что k=d2 /Ф (m), находим
где
—также некоторая функция пористости.
Выражение представляет собой двучленный закон фильтрации.