2.3. Основы анализа размерностей и теории подобия

Гидродинамические процессы, характерные для всего комплекса нефтедобычи — от движения нефти в пласте до ее течения по трубопроводам к потребителю, крайне сложны. Во многих случаях недостаточное понимание физики процессов затрудняет не только их изучение с помощью вычислительной техники, но и саму математическую постановку задач. В этих условиях очень важную роль играет применение анализа размерностей и теории подобия, основанного на фундаментальном положении: физические законы не должны зависеть от имеющегося произвола в выборе единиц измерения физических величин. Отсюда выводится, что функции, выражающие физические законы, обладают важным свойством, которое называется обобщенной однородностью. Это свойство позволяет иногда очень существенно упростить определение (расчет, нахождение из опыта) зависимостей, выражающих соответствующие закономерности.

Размерность

Все физические величины выражаются числами, которые получаются в результате измерения. Измерение представляет собой прямое или косвенное сравнение данной величины с соответствующими эталонами — единицами измерения

Единицы измерения физических величин подразделяются на основные и производные. Системой единиц измерения называется совокупность основных единиц измерения, достаточная для измерений явлений рассматриваемого класса. Так, в СИ за основные единицы измерения приняты единицы измерения длины, массы и времени, причем. Остальные единицы измерения, получаемые из основных, называют производными.

Классом систем единиц измерения называется совокупность систем единиц измерения, отличающихся между собой только величиной (но не природой) основных единиц измерения. Для класса систем единиц измерения, к которому относятся системы единиц. СИ, за основные единицы измерения приняты: за единицу длины один метр (м), за единицу массы — один килограмм (кг), за единицу времени — одна секунда (c). Для произвольной системы этого класса соответствующие единицы составляют:

единица длины = м/L;

единица массы = кг/М; (2.1)

единица времени = с/Т.

Здесь L, М, Т — отвлеченные положительные числа, которые показывают, во сколько раз уменьшаются основные единицы длины, массы и времени при переходе от исходной системы, в данном случае СИ, к другой системе рассматриваемого класса. Этот класс обозначается LMT. Обозначение класса систем единиц измерения получается последовательным выписыванием символов величин, единицы измерения которых приняты за основные. Одновременно этими символами обозначают число раз, во сколько уменьшается соответствующая основная единица измерения при переходе от исходной системы, в данном случае СИ, к другой системе данного класса.

Если уменьшить единицу длины в L раз, а единицу времени в Т раз, то, очевидно, новая единица скорости уменьшится по сравнению с исходной в LT^-l раз. Следовательно, численное значение всех скоростей возрастет в LT^-1 раз. Аналогично и для других величин. Изменение численных значений физических величин при переходе от одной системы единиц измерения к другой в данном классе систем единиц измерения определяется их размерностью. Размерностью физической величины называется функция, определяющая во сколько раз изменяется численное значение этой величины при переходе от исходной системы единиц измерения к произвольной системе внутри данного класса. Размерность величины  принято по предложению Максвелла обозначать [].

Специально подчеркнем, что размерность определяется для данного класса систем единиц измерения и в разных классах систем единиц измерения размерность одной и той же величины различна. Например, размерность плотности в классе LMT составляет [р]=ML^-3. Величины, численное значение которых одинаково во всех системах единиц измерения внутри данного класса, называются безразмерными. Ясно, что размерность безразмерной величины равна единице. Все остальные величины называются размерными.

Размерность любой физической величины всегда представляет собой степенной одночлен, так что, например, в классе LMT размерность величины а представляется в виде: , где , ,  — постоянные. Это следует из просто формулируемого, но на самом деле глубокого физического принципа: все системы внутри данного класса равноправны, т. е. среди них нет избранных, чем-то выделенных систем.

Говорят, что величины имеют независимые размерности, если размерность ни одной из этих величин нельзя представить в виде произведения степеней размерностей остальных. Например, размерности плотности [ ] = ML^-3, скорости [v] = LT^-1 и силы [F] — LMT^-1 независимы. Напротив, размерности плотности, скорости и давления зависимы: размерность давления [P]=ML^-lT^-2 равна произведению размерности плотности на квадрат размерности скорости. Ни одна из величин с независимыми размерностями не может быть безразмерной: размерность безразмерной величины, равная единице, равна произведению размерностей остальных величин, какими бы они ни были, в нулевой степени.

Для дальнейшего существенен следующий факт: всегда можно перейти внутри класса (не обязательно MLT) от исходной системы к некоторой другой системе данного класса так, чтобы любая величина из набора величин с независимыми размерностями , скажем a₁ изменила численное значение в произвольное число А раз, а все прочие величины остались неизменными.

Действительно, в выбранном классе систем единиц измерения Р, Q,…….,.R. ( отличном от класса MLT) размерности величин имеют вид:

причем для каждого члена ряда, хотя бы один из показателей степени не равен нулю. Следовательно, по определению размерности при переходе от исходной системы единиц к той системе единиц, которую мы ищем, числа Р, Q, . . .R (неизвестные множители) должны удовлетворять соотношениям

Логарифмируя соотношения, получаем для логарифмов неизвестных переходных множителей In Р, In Q, . . lnR. систему линейных алгебраических уравнений:

которая, как нетрудно видеть, всегда разрешима. Это свойство используется при построении анализа размерностей.

2.3.1 Анализ размерностей (теорема)

Во всяком физическом исследовании, теоретическом или экспериментальном, находятся зависимости одних величин, характеризующих явление, от других. Дело всегда сводится, таким образом, к отысканию одного или нескольких соотношений вида

a=f (a_1,………a_k,a_k+1,……..a_n)

Здесь а — определяемый параметр (функция); а₁……. а_n — величины, которые считаются заданными, они называются определяющими параметрами (аргументами). Разбиение определяющих пара можно сделать так, чтобы параметры a_1,………a_k имели независимые раз мерности, а размерности параметров a_k+1,……..a_n выражаются в виде произведения степеней размерностей параметров a_1,………a_k

где

Такое разбиение можно сделать всегда. В частных случаях может быть k = n, если размерности всех определяющих параметров независимы, или k = 0, если все определяющие параметры безразмерны. В общем случае 0<k<n.

Размерность определяемой величины а должна выражаться в виде произведения степеней размерностей величин a_1,………a_k. Следовательно, должны существовать числа (показатели степеней, которые можно подобрать) р, . . . , г, такие, что

Если бы это было не так, размерности величин (a, a_1,………a_k) были бы независимыми. Тогда, согласно свойству, доказанному в предыдущем разделе, можно было бы, изменяя систему единиц измерения внутри данного класса, менять величину а во сколько угодно раз, оставляя неизменными значениях всех определяющих параметров, чего не может быть, если список определяющих параметров полон.

В результате анализа размерностей доказывается, что искомая функция

a=f (a_1,………a_k,a_k+1,……..a_n),

определяющая ту или иную физическую закономерность, обладает свойством обобщенной однородности, т. е. представляется через функцию меньшего числа безразмерных параметров: П₁, , П_i, П_n-k, где

Эти факты составляют содержание основного утверждения анализа размерностей, так называемой теоремы.

Важность этой теоремы связано с тем, что в формуле первый сомножитель , определяющий размерность искомой функции сформировывается в явном виде, а второй сомножитель

является уже функцией меньшего чиcла (n-k) безразмерных параметров П_i. Для определения зависимости той или иной величины а от каждого определяющего параметра надо измерить или вычислить функцию f, скажем при 10 значениях соответствующего аргумента. Тогда для определения функции f надо провести всего 10ⁿ измерений или вычислений.

После применения анализа размерностей дело сводится к определению функции Ф от (п—k) безразмерных аргументов Для нахождения этой функции уже достаточно 10^n-k опытов или вычислений, т. е. в 10^k раз меньше. Мы приходим к важному выводу: трудоемкость определения искомой зависимости благодаря применению анализа размерностей сокращается на столько порядков, сколько среди определяющих параметров величин с независимыми размерностями.

2.3.2.Теория подобия

В подземной гидравлике очень часто прибегают к моделированию явлений, в том числе к физическому моделированию процесса фильтрации пластовых флюидов. Для правильного моделирования основным является понятие физического подобия явлений.

Понятие физического подобия, естественно, обобщает понятие подобия геометрического. Например, два треугольника подобны, если они отличаются только численными значениями параметров — длин сторон, а углы при вершинах для обоих треугольников одинаковы. Аналогично физические явления называются подобными, если они отличаются только численными значениями размерных определяющих параметров и притом так, что для них величины соответствующих безразмерных параметров совпадают.

В связи с принятым определением подобных явлений величины П₁, , П_i, П_n-k введенные в предыдущем разделе называются параметрами подобия.

Рассмотрим теперь некоторое явление, которое предполагается моделировать, будем называть его натурным. Потребуем, чтобы модельное явление, которым мы хотим воспользоваться для определения нужных характеристик натурного, было подобным натурному. Следовательно, для обоих явлений имеет место зависимость определяемой характеристики а от определяющих параметров a_1,………a_n:

a=f (a_1,………a_k,a_k+1,……..a_n)

При этом функция f для обоих явлений одна и та же, поскольку они подобны, хотя численные значения определяющих параметров a_1,………a_n и определяемого параметра а могут различаться. Запишем теперь искомую функцию определяемого параметра в форме, вытекающей из теоремы

Как сказано выше, для обеспечения подобия явления в натуре и на модели должны совпадать соответствующие безразмерные параметры описывающего его процесс уравнения. Это означает, что

и

Последние условия называют критериями подобия. Здесь верхним индексом (н) обозначены величины, соответствующие натурному явлению, а индексом (т) — величины, относящиеся к модельному явлению. Используя анализ размерностей, находим для обоих явлений

Критерии подобия, равенство параметров подобия для модельного и натурного явлений, указывают, как надо выбирать остальные определяющие параметры Раскрывая эти условия получим

Приведенные простые определения и утверждения исчерпывают содержание анализа размерностей и теории подобия.