3.11. Решение плоских задач фильтрации методом теории комплексного переменного Лекция №18

Этим методом некоторые классы задач можно решать проще и эффективнее, чем другими методами. Для рассмотрения основ метода напомним основные положения функции комплексного переменного.

Функцией F(z) комплексного переменного z=x+iy называется функция F(z) = M+jN где M = M (x, y), N = N (x, y) – функции двух действительных переменных. Необходимым и достаточным условием, чтобы F(z) была аналитической функцией комплексного переменного z, является выполнение соотношения Коши - Римана

; .

При выполнении этих условий F(z) имеет производную d/dz независимую от направления интегрирования в области z, а функции M (x, y) и N (x, y) являются гармоническими, т.е. удовлетворяют условию Лапласа

M = N = 0.

Рассмотрим плоский несжимаемый поток фильтрационной жидкости.

Компоненты скорости этого потока:

, ,

удовлетворяют уравнению неразрывности . Из этого уравнения следует, что

;

,

а во-вторых, что существует некоторая функция (х, у) такая, что

, и .

Значит , а и условия Коши-Римана выполняются. В этом случае функции Ф и  образуют функцию комплексной переменной , называемую функцией течения или комплексным потенциалом

F(z) = Ф (х, у) + j(x, y),

где: (x, y) – называют функцией тока. Раскроем ее физический смысл.

На плоскости z рассмотрим отрезок линии тока , т.к. вектор скорости совпадает с направлением касательной и ds можно записать:

или ,

- полный дифференциал функции (x, y).

Отсюда: d = 0 и  = const.

Это означает, что =const. описывает уравнение линий тока. Изменяя константу, получим полное семейство линий.

Рис. 18.1

Можно показать, что эквипотенциали и линии тока взаимноортогональны в любой точке М (рис 18.1). Производная является касательной к эквипотенциали Ф = С₁, но так как вдоль нее приращение потенциала нет Ф = , то ; аналогично вдоль линии тока  = С₂ имеем .

Рассмотрим произведение

(по условию Коши-Римана и ), а это может иметь место, если .

Определим физический смысл функции тока . Возьмем две линии тока и соединим их линией АВ (рис.18.2 и 18.3). Проекция вектора : n_x = cos (n, x) = (sin ), n_y = cos .

Н айдем расход через сечение АВ (считая h = 1):

таким образом, расход между двумя линиями тока равен разности значений функции тока на этих линиях.

Найдем производную , зависящую от направления дифференцирования. Выберем направление дифференцирования в плоскости z, совпадающее с направлением оси х

,

т.е. производная комплексной функции равна значению комплексно-сопряженной скорости с обратным знаком. Модуль ее производной равен модулю скорости движения жидкости.

Найдем закон движения частицы жидкости вдоль линии тока -const. Пусть dx и dy проекции элемента пути dS вдоль линии тока. Можно записать:

где: m – пористость, или

,

по dx – jdy = dz^*, значит

или , откуда .

Отметим в заключение обзора, что комплексные потенциалы потоков F(z)=Ф(х, у)+j (x, y) можно суммировать по принципу суперпозиции, т.к. функции Ф и  удовлетворяют уравнению Лапласа.

2. Рассмотрим примеры применения функций комплексного переменного для решения простейших задач на плоскости.

а) Прямолинейно-параллельный поток.

Для прямолинейно-параллельного потока комплексным потенциалом является функция F(z)=az+b, где а и b – комплексные постоянные а=а₁+jа₂, b=b₁+jb₂. (Для плоских задач функция получается заменой в реальном потенциале действительного аргумента х или r на комплексную переменную z). Вид функции при этом сохраняется. Для плоскопараллельного потока, например, потенциал тока ,

а ее комплексный аналог F= аz+b; для точечного стока , а комплексный потенциал и т.д.).

Разделим в действительную и мнимую части

.

Эквипотенциали представляют прямые линии с угловым коэффициентом , а линии тока также прямые с угловым коэффициентом . Они взаимно перпендикулярны, т.к. .

Компоненты скорости фильтрации равны соответственно

, и ,

т.е. движение происходит с постоянной скоростью. Это следует и из другого ее определения: .

б) Точечный сток, расположенный в начале координат, имеет комплексный потенциал , где q – расход на единицу толщины пласта (при q>0 – источник, q<0 – сток). Разделим действительную и мнимую части, используя полярную систему координат:

.

Откуда следует, что .

И з выражений следует, что эквипотенциали представляют собой концентричные окружности r = const, а линии тока – радиальные прямые с =const (рис. 18.4). Модуль скорости фильтрации:

.

Из этой формулы следует, что в начале координат F(z) имеет особую точку и поэтому не будет аналитической (производная обращается в бесконечность).

Рис. 18.4.

Если сток расположен в точке с комплексной координатой z₀ =x₀+jy₀, то комплексный потенциал имеет вид:

.

При переходе к полярным координатам полагают z-z₀ = re^j. Здесь особой точкой будет точка z_0.

в) Работа в пласте равно дебитного стока и источника. Поместим их в точки х = а, х = -а, у = 0.

Комплексный потенциал стока в этом случае , а источника .

Суммарный потенциал по принципу суперпозиции

.

Выведем уравнения эквипотенциалей и линий тока. Возьмем произвольную точку z = x + jy (точка М) на плоскости течения (рис. 18.5). Обозначим

и .

Рис. 18.5.

.

После чего уравнения эквипотенциалей и линий тока запишутся:

или , .

В уравнении эквипотенциальной линии перейдем к декартовым координатам. , ,

тогда  

 

 , где с1.

Прибавим и вычтем выражение , чтобы получить квадрат разности:

 .

Это уравнение окружности с центром в точке х₀ = , у₀ = 0 и радиусом . Изменяя постоянную константу С от нуля до 1, получим семейство окружностей в правой полуплоскости, не концентричных со скважиной-стоком, с увеличивающимися радиусами. Константа С = 1 соответствует окружности с бесконечным радиусом, т.е. оси у. В левой полуплоскости при х<0 картина зеркальная. Для нее полагают 1<c<.

Преобразуем аналогичным образом уравнение линий тока (рис.18.5) ; ;

.

Последнее выражение приводится к виду 

  .

Таким образом, линии тока также окружности, но с центром на оси у (х₀ = 0, y₀ = ) и радиусами , проходящие через сток (х = а) и источник (х = - а).

В заключение найдем скорости фильтрации, через значения производной комплексной функции

.

Если рассмотреть только правую половину плоскости течения , то комплексный потенциал пары сток - источник описывает приток к одному стоку, расположенному в точке х = а, у = 0 вблизи прямоугольного контура питания, которым является ось у (т.е. эквивалентный результат метода изображения стока вблизи прямоугольного контура).

При помощи принципа суперпозиции с использованием функции комплексного переменного можно решать различные задачи. Например, можно показать, что комплексный потенциал скважины, эксцентрично расположенный в круговом пласте с эксцентриситетом : ,

а комплексный потенциал кольцевой батареи из m скважин радиуса R₁ в круговом пласте радиуса R_k .