Потенциал в любой точке м пласта определяется как сумма потенциалов от двух источников:

,

где: q – действительный сток; -q – фиктивный источник.

Потенциал на контуре получим, полагая r₁ = r₂:

Ф_k = С = const.

Постоянство потенциала свидетельствует о корректности применяемого метода. Для вычисления дебита скважины найдем ее забойный потенциал, переместив точку М на забой скважины, т.е. положив r₁ = r_с и r₂ = 2a:

, отсюда .

Формула совпала с формулой Дюпюи при условии R_к = 2а.

В реальных условиях форма контура питания неизвестна, но вероятней всего она располагается между окружностью радиуса а и прямой, которой соответствует R_к =2а (рис. 15.7).

Рис. 15.7

Поэтому удельный дебит q определяется из неравенства:

.

Найдем теперь гидродинамическое поле точечного источника возле прямолинейного контура как совокупность эквипотенциалей и линий тока.

Уравнение линии равного потенциала можно поучить из выражения потенциала в любой точке М (х, у) пласта .

Положив этот потенциал постоянной величине и представив радиусы-векторы r₁ и r₂ в координатой форме, найдем уравнение линии равного потенциала, проходящей через точку М: .

Это уравнение можно преобразовать к уравнению семейства окружностей с центрами, лежащими на оси x:

.

Аналогично можно показать, что семейство линий тока также будет представлять окружности, но с центрами на оси у. Окружности будут перпендикулярными к эквипотенциалям и проходить через сток и фиктивный источник (рис.15.8).

Рис. 15.8.

3.8.4. Приток жидкости к скважине, расположенной вблизи непроницаемой прямолинейной границы.

Такой модели соответствует геологическая ситуация, когда добывающая скважина расположена возле сброса или границы выклинивания продуктивного пласта. С помощью метода отображения стоков и источников скважину-сток зеркально отображают относительно непроницаемой границы, в скважину-сток такого же дебита и знака (рис. 15.9). Справедливость такого отображения подтверждается тем, что вектор скорости фильтрации при r₁ = r₂ будет направлен вдоль границы. Это означает, что граница является линией тока и фильтрация через нее отсутствует. Дебит скважины в такой модели можно определить из систем 2-х уравнений для модели с удаленным контуром питания:

,

где: 2а = r₁₂, отсюда

.

Лекция №16

3.8.5. Приток жидкости к скважине, эксцентрично расположенной в круговом пласте.

Пусть в плоском пласте мощностью h с круговым контуром питания радиуса R_к, на контуре которого поддерживается постоянный потенциал Ф_k, на расстоянии  от центра в т. A расположена скважина-сток, с забойным потенциалом Ф_с. Требуется определить дебит скважины и потенциал Ф_M (х, у) в любой точке пласта M (рис. 16.1).

Рис. 16.1

Воспользуемся методом отображения стока в круге радиусом R_k. В этом случае отображением стока +q в т. A будет источник –q в т. A^*, расположенной на продолжении ОА на расстоянии «а» от т. А. Найдем это расстояние из условия постоянства Ф_k на круге, в частности в 2-х его точках М₁ и М₂:

;

;

; .

Для того, чтобы определить дебит скважины в т. А запишем выражение ее забойного потенциала:

.

Чтобы избавиться от константы вычтем полученное выражение забойного потенциала из выражения контурного потенциала в т. M₁:

.

Подставляя сюда значение а, получим:

,

при  = 0 формула переходит в формулу Дюпюи. Выражение потенциала в любой точке М:

.

Вычитая из этого выражения уравнение Ф_М1=Ф_k и учитывая выражение для «а», получим: