Лекция № 12

Б удем считать, что несжимаемая жидкость притекает к скважине, вскрывающей бесконечный по мощности однородный пласт, через сферический забой радиуса r_c. Схема такого потока изображена на рисунке 12.1.

Дифференциальное уравнение Лапласа удобно решать в сферической системе координат (r, , ).

где: Н_r, Н_, Н_ - коэффициенты Ламэ в (r, , ) : x = r sincos; y = r sin sin; z= r cos (рис. 12.2).

H

Рис. 12.2

_r = 1; H_ = r; H_ = r sin.

Для рассматриваемой модели линии тока жидкости совпадают с радиусами полусферы, поэтому частные производные по координатам  и  равны 0 и уравнение Лапласа будет иметь вид:

и .

Далее схема решения и нахождения характеристик потока жидкости полностью аналогична плоскорадиальному потоку. Дважды интегрируя, получим

Постоянные С₁ и С₂ определяем из граничных условий:

Подставив граничные условия, находим С₁ и С₂ из системы уравнений:

После подстановки значений С₁ и С₂ в общее решение, получим распределение давления в потоке несжимаемой жидкости как функции от координаты r

.

Если сопоставить формулы распределения давления для плоскорадиального и радиально-сферического потоков, то нетрудно заметить, что они имеют одинаковую структуру и переходят друг в друга, если логарифм отношения расстояний заменить разностью обратных значений расстояний:

.

Такое подобие структур формул характерно для выражений всех гидродинамических характеристик. Поэтому все остальные характеристики радиально-сферического потока (объемный расход несжимаемой жидкости, распределение скорости фильтрации, средневзвешенное давление и др.) можно получить из характеристик плоскорадиальной фильтрации аналогичной заменой в соответствующих формулах.

Лекция № 13

3.6. Одномерные фильтрационные потоки несжимаемой жидкости при нелинейных законах фильтрации

Обобщим результаты для случая фильтрации несжимаемой жидкости при больших скоростях движения, когда становятся значительными инерционные силы и основу уравнения движения должен составить не закон Дарси, а степенные функции:

сила вязкого трения

инерционная сила

потеря давления

и .

Для таких простейших случаев одномерных потоков несжимаемой жидкости решения (P, , Q) можно получить, не прибегая к уравнению Лапласа, а используя только уравнение движения и его связь с дебитом. Это становится возможным потому, что дебит в таких случаях постоянный, либо является простой функцией координаты движения, что позволяет разделить переменные

1. Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток.

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . x

. . . . . .

Рис. 13.1

Рис. 13.2

Схема фильтрации та же, но вместо закона Дарси используется нелинейный степенной закон фильтрации (рис. 13.1 и рис. 13.2).

Составим уравнение, левая часть которого выражает скорость фильтрации через нелинейный закон движения, а правая – скорость, выраженную через объемный дебит и площадь фильтрации

; 1  n  2.

Разделяя переменные и интегрируя в соответствующих пределах, найдем Q: ; откуда ,

интегрируя в переменных пределах, найдем распределение давления.

;

или подставляя сюда выражение Q, получим:

,

что совпадает с фильтрацией по линейному закону Дарси.

Находим градиент давления

и скорость фильтрации

,

будет постоянной и не зависит от координаты движения.

2. Плоскорадиальный фильтрационный поток.

Моделью является круговой пласт постоянной мощности, в центре пласта расположена добывающая скважина. Движение жидкости к скважине по координате r. Начало координат на скважине. Составим уравнение, левая часть которого, как и раньше, выражает скорость фильтрации при нелинейном законе движения, а правая – скорость, выраженную через объемный дебит и площадь фильтрации.

,

где - площадь сечения пласта.

Разделяя здесь переменные и интегрируя, получим:

;

Откуда

.

В предельном случае при n = 2 (закон Краснопольского)

если пренебречь

.

Распределение давления в потоке определим из предыдущего интегрируемого уравнения, проведя интегрирование его в переменных пределах, а затем подставив найденное выражение потока Q:

; .

В случае закона Краснопольского (n = 2)

,

что совпадает с распределением давления при радиально-сферическом потоке по линейному закону Дарси. Совпадает и градиент давления

;

при (n = 2) .

Скорость фильтрации  определяется

.

К такому же результату приводит расчет по формуле .

Индикаторные кривые, т.е. кривые дебита в зависимости от депрессии давления Р, имеют вид (рис. 13.3):

Кривая распределения давления в плоскорадиальном потоке при нелинейном законе фильтрации имеет форму гиперболы, а следовательно, воронка депрессии будет гиперболоидом вращения и будет круче, чем логарифмическая воронка в соответствующем потоке при линейной фильтрации (рис. 13.4).

Р аспределение скорости фильтрации при линейном и при нелинейном законах фильтрации, в отличие от распределения давления, не изменяет своей функциональной зависимости от координаты r и остается гиперболическим. В обоих случаях скорость, как это следует из соответствующих формул, скорость движения частицы жидкости нарастает при приближении к стенкам скважины по одинаковой зависимости.

Следует отметить, что в реальных условиях нельзя считать, что во всем пласте – от стенки до контура питания справедлив один нелинейный закон фильтрации с постоянным показателем степени n. Фильтрация может происходить по линейному закону при небольших дебитах, но с его ростом начнется нарушение линейности, прежде всего, у забоя скважины, в то время как в остальной части пласта может сохраняться закон Дарси. В дальнейшем по мере увеличения дебита область потока, в которой нарушен закон Дарси, будет расширяться.

В этих случаях необходимо использовать двухчленный закон функции

, где .

Выражая скорость фильтрации через дебит , перепишем двухчленный закон

,

разделяя здесь переменные, получим

.

Проинтегрировав здесь соответственно от r до R_k и от Р до Р_к, найдем:

а) распределение давления в пласте

;

б) дебит скважины, как положительную переменную квадратного уравнения .