Лекция № 11

3.5.2 Плоскорадиальный фильтрационный поток.

Будем считать, что несжимаемая жидкость притекает к гидродинамической совершенной скважине радиусом r_c, расположенной в центре однородного горизонтального кругового пласта, толщиной h. На внешней круговой границе пласта радиусом R_k, служащей контуром питания, поддерживается постоянное давление P_k, на забое скважины давление Р_с тоже постоянно. Дифференциальное уравнение Лапласа в случае плоскорадиального фильтрационного потока имеет вид

.

Удобно перейти и решить задачу в цилиндрической системе координат (r,,z) (рис. 11.1).

Рис. 11.1 Связь координат декартовой и цилиндрической систем:

x = r cos 

y = r sin 

z = z

Рис. 11.2.

Уравнение Лапласа в криволинейной системе ( цилиндрической) системе координат:

где: H _r, H _, H _z – коэффициенты Ляме.

Линии тока жидкости для данной фильтрационной модели совпадают с радиусами окружности (рис. 11.2). Поэтому в уравнении Лапласа останется одно слагаемое, зависимое от координаты r, и после подстановки в него значений коэффициентов Ляме примет вид:

.

Это и есть дифференциальное уравнение Лапласа в цилиндрических координатах для установившегося плоскорадиального течения несжимаемой жидкости по закону Дарси.

Дважды проинтегрировав дифференциальное уравнение, получаем

.

Постоянные интегрирования С₁, С₂ находим как обычно из граничных условий Р = Р_c при r = r_c; Р = Р_к при r = R_k.

Подставляя граничные условия, получаем систему уравнений для нахождения С₁, С₂:

.

Подставляя найденные значения С₁ и С₂ в решение, получим зависимость давления от координаты r в плоскорадиальном потоке.

.

Находим градиент давления

и используем его для нахождения скорости фильтрации

и дебита

,

где: S = 2rh – поверхность фильтрации (боковая поверхность цилиндра радиуса r и высотой h) (рис. 11.3).

Формула - называется формулой Дюпюи.

Находим закон движения частиц из связи

; .

Подставляя сюда значение  и интегрируя от 0 до t и от R₀ до переменного r получим:

Рис. 11.3.

где: R₀ – начальное положение частицы в момент t = 0 и r – текущее положение в момент t.

Если в эту формулу подставить вместо R₀ R_к , а вместо r  r_c, то получим время Т отбора всей жидкости, находящейся в пласте

.

Находим средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление

Прокомментируем некоторые результаты.

Дебит скважины пропорционален депрессии Р (разнице давлений в пласте и на забое работающей скважины) и одинаков через любую цилиндрическую поверхность, соосную со скважиной т.е. не зависит от r.

Отношение объемного дебита скважины к Р называется коэффициентом продуктивности

;

_.Через этот коэффициент дебит скважины выражается уравнением

Q=K_прP , которое называется индикаторной диаграммой. На ней коэффициент продуктивности определяется как тангенс угла наклона прямой к оси P (tg K_пр). На практике индикаторную диаграмму строят по данным испытания скважины, путем получения притоков нефти при различных депрессиях.

Рис. 11.5 График зависимости скорости и градиента давления от расстояния до скважины.

Градиент давления и скорости фильтрации ведут себя одинаково и резко возрастают при приближении к скважине (рис. 11.5).

Логарифмическая кривая давления, вращение которой вокруг скважины образует поверхность, называется воронкой депрессии. Основная часть депрессии образуется в призабойной зоне, параметры которой сильно влияют на дебит скважины (рис. 11.6).

б)

Рис. 11.6 Воронка дисперсии (а) и гидродинамическое поле (б)

Гидродинамическое поле плоскорадиального потока описывается семействами изобар и линий тока. Изобара представляет окружности, поскольку, Р  = const уравнение окружности. Линии тока – прямые, совпадающие с радиусами. Все выведенные формулы с заменой (Р_к – Р_с) на (Р_с – Р_к) справедливы для нагнетательных скважин.

3.5.3 Радиально-сферический фильтрационный поток