3.5 Одномерные фильтрационные потоки несжимаемой жидкости в однородном пласте

Одномерным называется фильтрационный поток жидкости, в котором скорость фильтрации и напор являются функциями только одной координаты, отсчитываемой вдоль линии тока.

К одномерным относятся следующие потоки.

1. Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток.

Контур питания для одной скважины – это условный контур, окружающий скважину, за пределами которого можно пренебречь возмущающим влиянием добывающей скважины. Для одиночной скважины – таким контуром является окружность такого радиуса, при котором на ней Р = Р_пл = P_k и  = 0. Для прямолинейной батареи скважины контур питания (условия на котором Р = Р_k и  = 0 сохраняются) также становится прямолинейным.

Для прямолинейно-параллельного фильтрационного потока линии тока жидкости в плане пласта и в его продольном сечении являются прямыми линиями, а скорость  в любой точке вертикального сечения пласта одинакова. Такой фильтрационный поток возникает при эксплуатации однородного пласта прямоугольной формы, у которого на контуре питания поддерживается постоянным давление Р_к, а батарея скважин, у которых давление на забое Р_r, расположена параллельно контуру питания (рис.10.1).

Рис. 10.1 План модели (а) и разрез по линии OX (б)

У словные обозначения: - линии тока жидкости; - батарея (галерея) добывающих скважин; I-I – контур питания; II-II – линия размещения батареи скважин; В – ширина разрабатываемого месторождения (зоны); L_k – расстояние от контура питания до батареи скважин; h – мощность пласта; - вектор скорости фильтрации

2. Плоскорадиальный параллельный фильтрационный поток.

Особенность плоскорадиального потока заключается в том, что линии тока совпадают с радиусами, сходящимися к центру окружности (скважине) и находятся в одной плоскости. В любом горизонтальном сечении пласта поведение линий тока одинаково. Плоскорадиальный поток создается в однородном круговом пласте постоянной мощности или пласте

неограниченной протяжности, если в центре него пробурена скважина, вскрывшая пласт на всю мощность и имеющая открытый ствол (рис. 10.2 и 10.3).

Рис. 10.3 Линии тока жидкости в

вертикальном сечении пласта.

Рис. 10.2 Линии тока жидкости в пласте.

3. Радиально-сферический фильтрационный поток.

Линии тока этого потока сходятся к центру сферы. Такой поток будет в пласте неограниченной мощности, вскрытом скважиной, имеющей полусферический забой (рис. 10.4).

Рис. 10.4

Описанные три вида фильтрационных потоков являются простейшими моделями реальных течений, возникающих при разработке месторождений и играющих важную роль для практических расчетов.

Задача исследования заключается в определении гидродинамических характеристик: дебита (или расхода), давления, grad P и скорости фильтрации в каждой точке пласта, а также в установлении закона движения частиц вдоль их траекторий, и определения средневзвешенного по объему порового пространства пластового давления.

3.5.1. Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток.

Пусть в горизонтальном пласте толщины h и ширины В в сечении I-I, совпадающем с контуром питания, поддерживается постоянное давление Р_к, а в сечении II-II, отстоящем на L_к, поддерживается давление Р_r в батарее добывающих скважин (рис. 10.1).

Дифференциальное уравнение Лапласа для такого течения: , т.к. фильтрация осуществляется вдоль оси х и производные по другим направлениям равны 0.

Интегрируя дважды, имеем:

.

Постоянные интегрирования определим из граничных условий (начальных условий нет, т.к. движение установившееся, т.е. не зависит от t).

.

Решением уравнения Лапласа будет функция Р(х) (распределение давления):

.

Находим из уравнения движения скорость фильтрации в пласте

.

Находим объемный расход жидкости в потоке как произведение скорости фильтрации  на площадь поперечного сечения пласта S = Bh, т.е.

.

Находим закон движения t = f (x), используя связь между скоростью фильтрации и скоростью движения частиц жидкости

.

Интегрируя по t от 0 до t и по х от 0 до х, получим

.

Вычисляем средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление

.

Поведение найденных характеристик плоскопараллельного фильтрационного процесса показано на рис. 10.5 и рис.10.6.

Рис. 10.5 Изменение характеристик вдоль линий тока.

Рис. 10.6 Гидродинамическое поле плоскопараллельного фильтрационного процесса.

При фильтрации давление равномерно падает от P_k до P_r. Линии равного давления (изобары) на плоскости перпендикулярны кровле и почве пласта и равноотстоят друг от друга. Линии тока жидкости являются параллельными прямыми и перпендикулярны к изобарам. Поведение изобар и линий тока жидкости в пласте определяет гидродинамическое поле фильтрационного потока (рис. 10.6).