3.2 Дифференциальные уравнения движения

Дифференциальные уравнения движения – это, по сути тот-либо иной закон фильтрации (линейный или нелинейный закон Дарси), но записанный в дифференциальной форме для реальных условий, где в отличие от установки Дарси трубка тока жидкости имеет переменное сечение.

Обозначим давление в момент времени t в сечении I-I трубки P_I=P(s,t), тогда давление в сечении II-II в этот момент P_II=P(s+dL, t), где: L - криволинейная координата движения; S- значение координаты в сечении I-I, S+dL- значение координаты в сечении II-II (рис. 8.2).

Рис. 8.2

Запишем закон Дарси в форме, выражающей скорость фильтрации от разности давлений

.

Подставим сюда вместо Р₁ и Р₂ давления Р_I и Р_II в сечениях трубки тока, получим

;

.

Знак «-» означает, что давление уменьшается в направлении движения. Последнее уравнение можно переписать в векторной форме

;

;

,

а

это означает, что

.

Это векторное уравнение эквивалентно 3-м алгебраическим уравнениям.

3.3. Уравнения состояния флюидов и параметров пористой среды

(Зависимость параметров флюида и пористой среды от давления)

Лекция № 9

Выведенные ранее дифференциальные уравнения содержат параметры флюида (, ) и пористой среды (k, m). Для дальнейших расчетов необходимо знание зависимости этих параметров от давления.

Определение зависимости  =  (P) для жидкости

При установившейся фильтрации, например, считается  - const, однако при неустановившейся фильтрации (например, отборе флюида за счет расширения жидкости при снижении давления в скважине), необходимо учитывать сжимаемость жидкости.

Считая жидкость упругой, можно записать:

,

где: _ж – коэффициент объемного сжатия жидкости; - изменение объема жидкости; V_ж – первоначальный объем.

Эта формула устанавливает коэффициент сжимаемости как относительное изменение объема жидкости при изменении давления. Иногда используют модуль упругости

.

Для различных нефтей отечественных месторождений _н= (730)10^-10Па^-1, пластовой воды _в= (2,55)10^-10Па^-1.

Чтобы найти зависимость  = (P) подставим в уравнение сжимаемости

;

или ;

интегрируя это уравнение , получим

; .

Показатель степени экспоненты для рядовых давлений Р10Мпа=10⁷Па и _ж=10^-10Па^-1 обычно мал и составляет  0,01. Поэтому, раскладывая экспоненту в ряд Тейлора в окрестности Р₀ и ограничиваясь двумя членами, получим линейную зависимость:

 = ₀ [1+_ж (P-P₀)].

Определение зависимости  =  (P) для газа.

Подземные природные газы можно считать идеальными и подчиняющимися уравнению Клапейрона-Менделеева, если пластовое давление невелико (6-9 МПа) и газ отбирается с депрессией до 1 МПа.

Тогда, если температура пласта постоянная (изотермический процесс) можно записать (плотность газа пропорциональна давлению, что вытекает из уравнения Клапейрона).

Для месторождений с высоким пластовыми давлениями (до 40-60 МПа) и большими депрессиями отбора (15-30 МПа) для получения зависимости плотности газа от давления нужно использовать уравнение состояния реального газа

или ,

где: m – масса газа,  - молекулярный вес, z = z (P_r, T_r) - сверхсжимаемость газа, определяется (как рассмотрено ранее) по графикам Д. Брауна в зависимости от приведенных величин давления (Р_r) и температуры (Т_r)

; ,

где: и – псевдокритические значения давления и температурой для смеси природного газа. Определение их дано ранее.

Используя найденное значение z (P_r, T_r) для изотермической фильтрации реального газа получим:

.

Определение зависимости  =  (Р)

Эксперименты показывают, что вязкость нефти при давлении выше давления насыщения и значительном изменении давления (до 100 МПа) увеличивается с повышением давления по зависимости

при незначительных изменениях давления

,

где: ₀ - вязкость при фиксированном давлении Р₀; _ - коэффициент, определяемый экспериментально и зависящий от химического состава нефти.

Определение зависимости k = k (P).

Зависимости проницаемости пласта k от давления описывается уравнениями, аналогичными зависимостям плотности и вязкости флюидов от давления.

k = k₀[1+_k(P-P₀)] – при малых изменениях P;

– при значительных изменениях Р.

Учет изменения k = k (P) необходим чаще в трещинных коллекторах, чем гранулярных, т.к. изменения проницаемости в них более значительные.

Определение зависимости m = m(P).

Чтобы выяснить, как зависит пористость от давления, рассмотрим вопрос о напряжениях в пористой среде, заполненной жидкостью

Р_грн = (1–m)+mP,

где: Р_грн= gH – горное давление на пласт;  - средняя плотность в покрывающей толще пород; Н –глубина залегания пласта; m – пористость; P – пластовое давление.

Тогда 1-е слагаемое в правой части является напряжением в скелете, а 2-е давлением поровой жидкости. Уравнение выражает следующее физическое содержание. Горное давление уравновешивается напряжением в скелете и давлением поровой жидкости (если кровля и почва пласта непроницаемые и пласт берет на себя нагрузку вышележащих пород).

Вводят так называемое эффективное напряжение, определяемое как разность напряжений в твердом скелете и жидкой фазе и действующее на скелете

_эф = (1-m)(-P).

Тогда баланс напряжений можно записать:

Р_грн = _эф+Р = соnst.

Эффективное напряжение физически интерпретируется как часть истинного напряжения, которое передается по контакту между зернами.

При разработке месторождения (отбора нефти) _эф в скелете растет, т.к. снижается пластовое давление в жидкой фазе.

Пористость в общем случае зависит от _эф и Р,

m = m (_эф, P).

Снижение пластового давления жидкости в едет к увеличению _эф, что влечет уменьшение пористости (за счет увеличения деформации зерен). Одновременно, уменьшается сжимающее напряжения на зернах, что влечет их рост и также способствует снижению пористости (рис. 9.1).

В тех случаях, когда горное давление Р_грн=const, обычно считают пористость зависящей только от пластового давления и эта зависимость линейная

m = m₀[1+_m(P-P₀)], где _m – коэффициент.

Лабораторные исследования дают оценку его значений _m=(0,322)10^-10Па^-1.

При значительных изменениях давления изменение пористости описываются уравнением

Таким образом, в общем случае нужно решить систему из 8-ми дифференциальных уравнений, включающую: уравнение неразрывности, три уравнения движения (одно в векторной форме, но три в скалярной), два уравнения состояния флюидов и два уравнения состояния пористой среды и определить функции от координат и времени: _x, _y, _z, P, , , m и k.

Начальные и граничные условия.

Продуктивный пласт или его часть можно рассматривать как некоторую область, ограниченную граничными поверхностями. Таких поверхностей много: кровля и подошва пласта, поверхности нарушений, выклинивания пласта, поверхности области питания (контура питания), стенки скважин и др.

Чтобы получить решения системы дифференциальных уравнений, к ней необходимо добавить начальные и граничные (краевые) условия.

Начальные условия заключаются в задании искомой функции во всей области в некоторый начальный момент времени.

Например: р = р(x, y, z) при t = 0; или P = const при t = 0, также и другие функции.

Граничные условия задаются на границах пласта. Возможны следующие граничные условия:

I. На внешней границе Г:

1) постоянное давление P = (Г, t) = Р_к = const, т.е. граница является контуром питания;

2) постоянный приток через границу P/n = const;

3) переменный приток через границу P/n = f₁(t);

4) замкнутая внешняя граница P/n = 0;

5) бесконечный по простиранию пласт

.

II. На внутренней границе:

6) постоянное давления на забое скважины радиусом r_c

P(r_c,t) = P_c = const;

7) постоянный дебит. Это условие при выполнении закон Дарси

можно представить следующим образом:

=const или , при r = r_c,

где: 2 rh - площадь боковой поверхности скважины;

8) переменный дебит при r = r_c;

9) отключение скважины при r = r_c;

Наиболее часто встречаются граничные условия 1 и 5, 6 и 7.

Лекция №10

3.4. Вывод дифференциального уравнения установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси

В простейших идеализированных случаях рассмотренная ранее система дифференциальных уравнений первого порядка может быть представлена одним уравнением в частных производных более высокого порядка.

Выведем дифференциальное уравнение установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси на основе уравнений неразрывности, движения и состояний жидкости и пористой среды (одно дифференциальное уравнение вместо системы дифференциальных уравнений).

Для таких условий без учета деформации среды (, m = const) второй член уравнения неразрывности равен нулю и оно принимает вид:

, и поскольку   0, то

.

Уравнение движения по закону Дарси

, .

Определяем производные

;

;

.

и подставляя их в уравнение неразрывности, получаем выражения:

в координатной форме;

или через дифференциальные операторы

Это и есть дифференциальное уравнение установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси, которое называется уравнением Лапласа. В теории фильтрации для удобства еще вводят функцию Ф(x, y, z), называемую потенциалом скорости фильтрации и определяемую как

.

С ее помощью уравнение движения переходит в уравнение

,

а уравнение фильтрации - .

Решениями уравнения Лапласа являются гармонические функции Р (x, y, z) и Ф (x, y, z), которые имеют непрерывные частные производные 1-го и 2-го порядка.

На решения уравнения Лапласа распространяется принцип суперпозиции, заключающийся в том, что если функции Ф₁, Ф₂ …Ф_n являются частными решениями, тогда их линейная комбинация

,

где С_i – коэффициенты, также является решением. Это свойство широко используется при решении задач, сводящихся к уравнению Лапласа.