Умножая (4.16) вначале слева на с, затем справа на в, получим равенства:

А^-1В=С^-1 (4.17)

СА^-1=В^-1. (4.18)

Обозначим элементы матрицы А^-1 через d_ij, т.к. С^-1 – верхняя треугольная, причем с_ii=1, i=1, 2,…, n, то (4.17) представляет систему уравнений для определения d_ij:

0 0…0

1 0…0 (4.19)

= 1

i=1, 2,…, n.

Так как В^-1 – нижняя треугольная матрица, то (4.18) представляет систему уравнений:

0 0…0

0 0…0 (4.20)

0

j=2, 3,…, n.

Итак, (4.19) и (4.20) является системой n² линейных уравнений для вычисления n² элементов А^-1. Решение этой системы не содержит принципиальных трудностей. На первом шаге в каждом из уравнений (4.19) полагаем i=n и находим последовательно d_nn, d_{n, n-1}, d_n1. На втором шаге из (4.20) при j=n вычисляем d_{n-1, n}, d_n-2, n,…, d_1n. Затем при i=n-1 из (4.19) находим d_{n-1, n-1}, d_n-1,n-2,…, d_{n-1, 1} и т. д.

4.1.5. Собственные векторы и собственные значения матриц. Рассмотрим квадратную матрицу А=[a_ij], i,j=1, 2,…, n и n-мерный вектор х0.

Вектор х0 называется собственным вектором матрицы А, если найдется число  такое, что имеет место равенство:

Ах=х. (4.21)

Число  в (4.21) называется собственным значением или характеристическим числом матрицы А, соответствующим собственному вектору х.

Рассмотрим алгоритм нахождения собственных элементов нормальной (симметричной и положительно определенной) матрицы.

Если матрица нормальная, то ее собственные элементы обладают двумя важными свойствами:

1. Собственные числа ₁, ₂,…, _n её действительны и положительны;

2. Собственные векторы хⁱ, i=1, 2,…, n действительны и взаимно ортогональны:

при jк.

Исходя из теоремы существования, первый собственный вектор х¹ и ₁ определяются из системы линейных уравнений:

. . . . . . .

Приведем эту систему к виду, необходимому для итерационного процесса:

. . . . . . . (4.22)

.

Так как координаты собственных векторов определяются с точностью до множителя пропорциональности, то одна из них произвольная, для определенности возьмем . Систему (4.21) можно решать и методом итераций, и методом Зейделя.

Для определения ₂ и х² СЛАУ имеет вид:

i=1, 2,…, n.

Из соотношения ортогональных векторов х¹ и х²:

исключим одну из компонент вектора х², например, х_n². Тогда система для определения ₂ и х² примет вид:

i=1, 2,…, n-2

. (4.23)

Полагая решим системы (4.23) и тем самым найдем ₂ и х².

4.2. Порядок выполнения заданий

Задание 1. Решение системы линейных уравнений методом простых итераций.

1. Привести полный текст варианта.

2. Преобразовать систему линейных уравнений к виду, необходимому для метода простых итераций.

3. Проверить условие сходимости метода простых итераций.

4. Определить, какова должна быть норма разности векторов на двух соседних итерациях , гарантирующая получение решения с заданной точностью =0,005.

5. Решить систему методом простых итераций c точностью =0,005, используя результаты предыдущего пункта для остановки итерационного процесса.

6. Написать интервалы для точного решения системы линейных уравнений.