4. Линейная алгебра

4.1. Цель работы

Овладеть точными и приближёнными методами решения систем линейных алгебраических уравнений, научиться находить оценку точности найденного решения и определять пороговые значения, позволяющие остановить итерационный процесс после нахождения решения с заданной точностью.

4.1. Методические указания

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) делятся на две группы:

1. точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы нахождения корней системы (таковы, например, метод Гаусса, правило Крамера, метод Халецкого и др.);

2. итерационные методы, позволяющие получать корни системы с заданной точностью путем построения конечной, а чаще бесконечной последовательности приближений, итераций (к их числу относятся метод простых итераций, метод Зейделя, метод релаксаций и др.).

4.1.1. Метод простых итераций. Рассмотрим систему линейных уравнений вида

, (4.1)

где - квадратная матрица, причем , и - n-мерные вектора, - неизвестный (искомый) вектор.

Приведем систему (4.1) к виду

, (4.2)

где , .

Метод простых итераций состоит в следующем. Выбирается произвольный вектор (начальное приближение) и строится итерационная последовательность векторов по формуле

, (4.3)

Теорема 1. Если , то система линейных уравнений (4.2) имеет единственное решение и итерации (последовательные приближения) (4.3) сходятся к решению со скоростью геометрической прогрессии.

Через здесь обозначена норма матриц вида:

. (4.4)

Для оценки точности приближения , полученного на к-ой итерации по формуле (4.3), используется неравенство

. (4.5)

Через в (4.5) обозначена норма вектора вида.

С точки зрения теории погрешностей левая часть (4.5) есть абсолютная погрешность приближения СЛАУ (4.2). Неравенство (4.5) можно использовать для нахождения предельной абсолютной погрешности приближения , на основе правой части формулы (4.5).

Из формулы (4.5) можно найти величину, позволяющую останавливать итерационный процесс (4.3) в автоматическом режиме, если задана точность , с которой требуется найти приближенное решение. Действительно, , а величина определяется по формуле (4.4). Для рассматриваемой ситуации из (4.5) получаем . Из этого неравенства следует

. (4.6)

Неравенство (4.6) должно проверяться на каждой итерации. Как только оно будет выполнено, итерационный процесс должен быть остановлен, так как требуемая точность достигнута.

4.1.2. Метод Зейделя. Рассмотрим СЛАУ (4.2). Метод Зейделя состоит в том, что итерации производятся по формуле

, (4.7)

где ,

Итерации (4.7) по методу Зейделя отличаются от простых итераций (4.2) тем, что при нахождении - ой компоненты - го приближения используются уже найденные компоненты - го приближения, а именно, 1,2,…, компоненты.

Теорема 2. Если линейная система (4.1) нормальная (симметричная и положительно определенная), то процесс Зейделя для эквивалентной ей приведенной системы (4.2) всегда сходится из любого начального вектора .

Способ приведения линейной системы (4.1) к нормальному виду следует из теоремы.

Теорема 3. Если обе части линейной системы (4.1) умножить слева на транспонированную матрицу , то полученная новая система линейных уравнений будет нормальной.

Оценка погрешности для метода Зейделя имеет вид

, (4.8)

где .

4.1.3. Метод Халецкого. Этот метод (точный) основан на том, что почти всякую квадратную матрицу можно представить в виде произведения нижней треугольной и верхней треугольной с единичной диагональю, т.е. в виде . Так как матрицы и треугольные, то их элементы выражаются аналитически

(4.9)

. (4.10)

После нахождения матриц и искомый вектор может быть вычислен из двух систем уравнений:

, . (4.11)

В силу треугольности матриц и , система (4.10) решается в явном виде:

(4.12)

и . (4.13)

Этот метод получил название схемы Халецкого. В схеме применяется обычный контроль с помощью сумм. Над столбцом сумм производим те же действия, что и над столбцом свободных членов.

4.1.4. Нахождение обратной матрицы методом Халецкого. Обратной матрицей А^-1 по отношению к данной А называется матрица, которая при умножении как справа, так и слева на данную матрицу А, дает единичную матрицу:

А^-1А=АА^-1=Е, (4.14)

где Е - единичная матрица.

Квадратная матрица называется неособенной, если ее определитель отличен от нуля:

det(А)0. … (4.15)

Теорема 4. Всякая неособенная матрица имеет единственную обратную матрицу.

Рассмотрим вычисление обратной матрицы методом Халецкого. Из равенства А=ВС следует

А^-1=С^-1В^-1 (4.16)