Предельной абсолютной погрешностью приближения называется всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа:

. (3.2)

Естественно, из разных оценок выбирают наименьшую возможную.

Из (3.2) следует интервал для точного числа :

. (3.3)

Понятия абсолютной погрешности (или ) недостаточно при решении задачи сравнения точности двух измерений, особенно в случае сравнения точности измерений, имеющих различные единицы измерения. Например, требуется выяснить какой из двух параметров: объем геологического нефтенасыщенного тела (V) или коэффициент пористости (К_п) вносит большую погрешность в значение балансовых запасов нефти. Решение этой задачи возможно только на основании понятия относительной погрешности.

Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю соответствующего точного числа :

.

Отсюда .

Предельной относительной погрешностью приближения называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа: , т.е. , отсюда . Таким образом, за можно принять: . Так как на практике А - неизвестно и А  а, то вместо этой формулы используют . Зная и используя формулу (3.3), напишем интервал точного числа А через предельную относительную погрешность:

. (3.4)

К оценке точности приближения а можно подойти с другой стороны через понятие числа верных знаков. Известно, что всякое положительное число а может быть представлено в виде

, (3.5)

где – цифры числа а, причем старшая цифра , а m – некоторое целое число (старший десятичный разряд числа а).

Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является сохраненным десятичным знаком.

Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа а являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-ой значащей цифрой, считая слева направо.

Таким образом, если для приближенного числа а, заменяющего точное число А, известно, что

, (3.6)

то по определению, первые n цифр , , этого числа верные.

Естественно, что между двумя рассмотренными подходами существует связь, которая выражается теоремой. Эта теорема связывает величину относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа.

Теорема. Если положительное приближенное число а имеет n верных десятичных знаков, то относительная погрешность этого числа не превосходит , делённую на первую значащую цифру данного числа, т.е.

,

где - первая значащая цифра числа а.

В теории погрешностей существует ряд теорем, позволяющих определить погрешность чисел, полученных различными арифметическими действиями над приближенными числами. Приведем некоторые формулы для подсчета абсолютной и относительной погрешностей косвенных измерений (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Математическая операция	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
Х=А+В+С	Х=А+В+С
Х=А - В	Х=А+В
Х=АВС	Х=ВСА+АСВ+АВС
	Х=
Х=Аn	Х=nАn-1А

Рассмотрим общую формулу для погрешностей косвенных измерений, которая заключается в следующем: известны погрешности аргументов некоторой функции , требуется определить погрешность этой функции.

Пусть задана дифференцируемая функция

и пусть известны , - абсолютные погрешности аргументов. Тогда предельная абсолютная погрешность функции

. (3.7)

Разделив обе части равенства (3.7) на u, получим предельную относительную погрешность функции u:

. (3.8)

На практике важна также обратная задача: каковы должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, обеспечивающие вычисление функции u с погрешностью , не превышающей заданной величины. Эта задача математически не корректна, так как имеет бесчисленное множество решений.

Задача становится корректной, т.е. имеет единственное решение, при допущении так называемого принципа равных влияний. Согласно этому принципу, все частные дифференциалы

,

вносят примерно одинаковый вклад в абсолютную погрешность функции :

  ….   .