Задача №4

Для схем балок I, II требуется:

1. вычертить расчетные схемы, указав числовые значения размеров и нагрузок;

2. вычислить опорные реакции (схема II) и проверить их;

3. составить аналитические выражения изменения изгибающего момента М_х и поперечной силы Q_у на всех участках балок;

4. построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, указав значения ординат во всех характерных сечениях участков балок;

5. руководствуясь эпюрами изгибающих моментов, вычертить приблизительный вид изогнутых осей балок;

6. определить положения опасных сечений и из условия прочности подобрать поперечные размеры балок:

а) для схемы I – круг диаметром d при допускаемом напряжении [] = 280МПа (сталь);

б) для схемы II – двутавровое (ГОСТ 8239-72) при допускаемом напряжении [] = 200МПа (сталь).

Исходные данные: с = 1,4а; Р = 2,4qa; m = 0,4qa²; а = 1м; q = 5кН/м.

Решение:

Значения нагрузок:

кН; кНм.

Схема I.

1. Изображаем расчетную схему и разделяем ее на два силовых участка.

2. Опорные реакции не определяем, так как можем построить эпюры со свободного конца.

3. Записываем аналитические выражения для поперечной силы и изгибающего момента в произвольном сечении для каждого участка. Вычисляем значения и на границах участков.

1-й участок

2-й участок

4. Строим эпюры и .

5. Руководствуясь эпюрой изгибающих моментов, вычертим приблизительный вид изогнутой оси балки.

Из эпюры видим, что нижние волокна балки сжаты практически по всей длине. Следовательно, балка изгибается вниз, при этом перемещение и поворот сечения в заделке отсутствуют.

6. Находим наиболее опасное сечение – кНм.

Размер поперечного сечения балки определим из условия прочности:

.

Отсюда необходимый момент сопротивления изгибу

.

Для круга . Откуда:

.

Схема II.

1. Изображаем расчетную схему и разделяем ее на четыре силовых участка.

2. Определяем опорные реакции.

Составляем уравнения равновесия: сумму проекций всех сил на ось и сумму моментов всех сил относительно точки , затем .

.

Для проверки найденных реакций используем еще одно уравнение равновесия - сумма проекций всех сил на ось :

следовательно, опорные реакции определены верно.

3. Записываем аналитические выражения для поперечной силы и изгибающего момента в произвольном сечении для каждого участка. Вычисляем значения и на границах участков.

1-й участок

2-й участок

3-й участок

На границах этого участка поперечная сила имеет разные знаки, поэтому в том сечении, где на эпюре моментов наблюдается экстремум. Найдем его.

Подставляя координату этого сечения в уравнение момента получим

4-й участок

4. Строим эпюры и .

5. Руководствуясь эпюрой изгибающих моментов, вычертим приблизительный вид изогнутой оси балки. Там, где эпюра отрицательна, нижние волокна балки сжаты, а где положительна – растянуты.

6. Находим наиболее опасное сечение – кНм.

Размер поперечного сечения балки определим из условия прочности:

.

Отсюда необходимый момент сопротивления изгибу

см³.

По сортаменту ГОСТ 8239-89 подбираем двутавр №14 – W_х = 81,7см³.