Задача №1

Поперечное сечение бруса состоит из двух частей, соединенных в одно целое.

Требуется:

1. вычертить схему сечения в масштабе 1:2, на которой указать положение всех осей и все размеры;

2. найти общую площадь сечения;

3. определить положение центра тяжести всего сечения;

4. определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих через центр тяжести параллельно полкам;

5. Найти положение главных центральных осей, значения главных центральных моментов инерции, главных радиусов инерции и проверить правильность вычисления моментов инерции.

Исходные данные: равнобокий уголок (ГОСТ 8509-93) – 125х125х10; полоса – 250х12.

Решение:

По ГОСТ 8509-93 определим характеристики уголка 125х10:

b = 12,5см; А_уг = 24,33см²; см⁴; см⁴; z₀ = 3,45см.

Основные характеристики листа:

h = 25см; t = 1,2см; см²;

см⁴; см⁴.

1. Изобразим в масштабе 1:2 составное сечение и укажем оси и центры тяжести каждого из элементов.

2. Площадь сечения:

см².

3. За исходные координатные оси примем оси х₁ и у₁ уголка и найдем координаты центра тяжести сечения:

см;

см.

Центральные оси х и у направим параллельно исходным осям х₁ и у₁.

4. Осевые моменты инерции относительно центральных осей:

см⁴;

см⁴;

Центробежный момент инерции сечения относительно центральных осей:

5. Определим положение главных центральных осей U и V:

,

Вычислим значения главных центральных моментов инерции:

см⁴;

см⁴.

Проверка:

;

;

см⁴,

см⁴,

;

Задача №2

Стальной стержень (Е = 210⁵МПа), один конец которого жестко защемлен, другой – свободен, находится под действием продольных сил Р и распределенной нагрузки t = 20кН/м. Отдельные участки стержня имеют различную площадь поперечного сечения, F или 2F.

Требуется:

1. сделать схематический чертеж бруса по заданным размерам, соблюдая масштаб длин по вертикали;

2. вычислить значения продольной силы N и нормального напряжения , построить их эпюры;

3. найти перемещение сечения I – I.

Исходные данные: F = 2,9см²; а = 0,19м; b = 0,1м; с = 0,12м; Р = 20кН.

Решение:

1. Изобразим расчетную схему стержня и разделим ее на три силовых участка.

2. Определим продольную силу N и нормальное напряжение на каждом участке, начиная со свободного конца.

_{1-й участок}

кН;

МПа.

₂-й участок

кН;

МПа.

₃-й участок

кН;

Строим эпюры N и .

3. Определим перемещение сечения I–I.

Перемещение будет равно удлинению участка стержня от заделки до нужного сечения:

Задача №3

Стальной валик прямоугольного сечения испытывает кручение от приложенных к нему четырех моментов: М₁, М₂, М₃ и М₄.

Требуется:

1. построить эпюру крутящих моментов;

2. определить размеры поперечного сечения валика из условий прочности и жесткости, приняв h/b = 1,5;

3. показать распределение касательных напряжений в поперечных сечениях;

4. построить эпюру углов закручивания.

Модуль упругости при сдвиге для материала валика G = 810⁴МПа; допускаемое значение угла закручивания [] = 1,8°/м.

Исходные данные: а = 0,19м; с = 0,1м; l = 0,12м; М₁ = 2,9кНм; М₂ = 2кНм; М₃ = 2,2кНм; М₄ = 2,9кНм; [] = 40МПа.

Решение:

1. Изобразим в масштабе расчетную схему вала.

Строим эпюру начиная со свободного конца вала.

₁-й участок

кНм.

₂-й участок

кНм.

₃-й участок

кНм.

₄-й участок

кНм.

2. Определяем необходимый диаметр вала.

Из условия прочности:

- с эпюры

где при h = 1,5b -  = 0,23;

Приравнивая выражение для и получим:

Из условия жесткости:

, где [] = 1,8°/м = 0,0314м^-1;

где при h = 1,5b -  = 0,196;

Приравнивая выражение для и получим:

Из двух полученных значений за ответ берем и больший и принимаем из стандартного ряда .

3. Изобразим распределение касательных напряжений в поперечном сечении вала в точке B.

;

МПа.

где при h = 1,5b -  = 0,855;

МПа.

4. Строим эпюру углов закручивания.

Углы поворота сечений будем определять относительно сечения , угол поворота которого равен нулю. Углы поворота других сечений равны сумме углов закручивания участков вала, расположенных между сечением и сечением, угол закручивания которого определяется:

.

Т. к. вал имеет одно сечение на всех участках, вычислим .

.

Угол поворота сечения равен углу закручивания участка :

.

Угол поворота сечения :

.

Угол поворота сечения :

.

Угол поворота сечения :

.

Откладывая от нулевой линии полученные значения углов поворота сечений в масштабе с учетом знака, а затем, соединяя полученные точки прямыми линиями, получаем эпюру углов закручивания.