Примеры решения задач

Пример 1. Два точечных заряда 9q и -q закреплены на расстоянии l = 50 см друг от друга. Третий заряд q₃ может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда q₃, при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда q₃ равновесие будет устойчивым?

Дано: q1 = 9q q2 = -q l = 0,5 м	Решение: Заряд q3 находится в равновесии в том случае, если геометрическая сумма сил, действующих на него, равна нулю. Это значит, что на заряд q3 должны действовать две силы, равные по модулю и
r - ?

проти­воположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков I, II, III (рис. 1) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд q₃ – положительный.

На участке I на заряд q₃ будут дей­ствовать две противоположно направленные силы и Сила , действующая со стороны заряда q₁, в любой точке этого участка больше силы , действующей

I

+

_

q₁ q₂

q₃

l

II

q₃

+

_

q₁ q₂

III

_

q₁ q₂

q₃

+

x

l + x

Рис. 1

со стороны заряда q₂, так как больший заряд q₁ находится всегда ближе к заряду q₃, чем меньший (по модулю) заряд q₂. Поэтому равновесие на этом участке невозможно.

На участке II обе силы и направлены в одну сторону - к заряду q₂. Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно.

На участке III силы и направлены в противоположные стороны, так же как и на участке I, но в отличие от него меньший заряд q₂ всегда нахо­дится ближе к заряду q₃, чем больший заряд q₁. Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы и будут одинаковы по модулю, т. е.

. (1)

Пусть х и l + х — расстояние от меньшего и большего зарядов до заряда q_3.. Выражая в равенстве (1) и в соответствии с законом Кулона, получим:

⟹ . (2)

Решая квадратное уравнение (2) получим два корня:

.

Корень х₂ не удовлетворяет физическому условно задачи (в этой точке силы и хотя и равны по модулю, но направлены в одну сторону).

Определим знак заряда q₃, при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равно­весия. Рассмотрим смещение заряда q₃ в двух случаях: когда заряд положителен и отрицателен.

Если заряд q₃ положителен, то при смещении его влево обе силы и возрастают. Так как сила воз­растает медленнее, то результирующая сила, действую­щая на заряд q₃, будет направлена в ту же сторону, в которую смещен этот заряд, т. е. влево. Под действием этой силы заряд q₃ будет удаляться от положения равно­весия. То же происходит и при смещении заряда q₃ вправо. Сила убывает быстрее, чем . Геометриче­ская сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т. е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является неустойчивым.

Если заряд q₃ отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил и , но сила возрастает медленнее, чем ,

т. е. . Ре­зультирующая сила будет направле­на вправо. Под ее действием заряд q₃ возвращается к положе­нию равновесия. При смещении q₃ вправо сила убывает быстрее, чем , т.е. , результирующая сила направлена влево и заряд q₃ опять будет возвращаться в положение равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Величина самого заряда q₃ несущественна.

Пример 2. В вакууме образовалось скопление зарядов в виде тонкого длинного цилиндра с объемной плотностью  =1·10^-10 Кл/м³ и радиусом R =10 см. Найти напряженность поля в точках, отстоящих от оси цилиндра на расстоянии 5 см и 15 см, а также вид зависимости Е(r).

	Дано: R =10 см  =1·10-10 Кл/м3 r1 = 0,05 м r2 = 0,15 м ε = 1 Е1 = ? Е2 = ? Е(r) = ?	Решение: Через точки 1 и 2 проведем в виде цилиндров радиусом r1 и r2 замкнутые поверхности (рис.2). Поток вектора напряженности, пронизывающий боковую поверхность цилиндра радиуса r1, равен: NE(1) = E12r1 l, (1) где l - длина образующей цилиндра. Поток через основания цилиндра равен нулю. По теореме Гаусса:
Рис.2			(2) . Учитывая уравнение (1) получим: E (3) 12r1l = Точка 1 находится внутри цилиндра радиуса R. Поэтому для любой точки с имеем: E (4) (r) = ,

т.е. напряженность линейно растет с увеличением расстояния.

Поток напряженности, пронизывающий поверхность второго

ц

(5)

илиндра, находится аналогично:

По теореме Гаусса N_E(2) = = . (6)

Приравнивая правые части выражений (5) и (6), найдем:

E₂ = . (7)

Зависимость Е(r) при r > R имеет вид:

E

(8))

(r) =

Видно, что напряженность убывает пропорционально . При r = R

E

(9)

_R = =

Из выражения (9) видно, что на поверхности цилиндра напряженность имеет максимальную величину.

Проверим единицы напряженности

[E] = = = .

Произведем вычисления учитывая, что

E₂ =

Графически зависимость Е(r) представлена на рис.3.

Таблица 2

r	0	R	2R	3R	4R	5R	R 6	7R
Е	0	ER	ER/2	ER/3	ER/4	ER/5	ER/6	ER/7

Пример 3. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью υ₁ = 10⁶ м/с, что­бы скорость его возросла в 2 раза.

Дано: υ1 = 106 м/с υ2 / υ1=2	Решение: Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатиче­ского поля. Эта работа определяется произведением элементарного заряда е на разность потенциалов U:
U-?

A=eU. (1)

Работа сил электростатического поля в данном слу­чае равна изменению кинетической энергии электрона:

(2)

где Т₁ и T₂ — кинетическая энергия электрона до и после прохождения ускоряющего поля; m — масса электрона; -

начальная и конечная скорости электрона.

Приравняв правые части равенства (1) и (2), и учитывая, что υ₂ =2 υ₁ получим:

₍₃₎

Отсюда искомая разность потенциалов равна:

₍₄₎

Произведем вычисления, учитывая, что масса электрона , а заряд

Пример 4. Как изменится емкость плоского воздушного конденсатора, если между его обкладками поместить стеклянную пластину ( = 6), толщина которой равна половине расстояния между обкладками?

Решение:

ε = 6 Если между стеклом и воздухом поместить очень тонкий слой проводника, это не изменит напряженности поля ни в стекле, ни в воздухе, поэтому не изменится и разность потенциалов между обкладками конденсатора. Но теперь конденсатор AB можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора AD и DB (рис.4).

А D В Рис. 4

Емкость плоского конденсатора AB до введения стеклянной пластины равна:

c₀ = , (1)

где S - площадь одной пластины, d - расстояние между обкладками

 - диэлектрическая проницаемость среды, ₀ - дэлектрическая постоянная.

Тогда с учетом формулы (1) емкости конденсаторов с_AD =2c₀ ,а c_DB = 2·с₀

Емкость конденсатора AB после введения стеклянной пластины будет равна c' . Эту емкость можно найти по формуле:

= или = = . (2)

Выразив c' из (2), получим:

c' = = =1,7c₀ . (3)

Из выражения (3) видно, что емкость конденсатора AB увеличилась в 1,7 раза.