7.3 Работа внутренних сил

В процессе нагружения упругой системы работу совершают не только внешние, но и внутренние силы, которые развиваются во всех деформируемых элементах. Поскольку в упругой системе не происходит потерь энергии на преодоление трения, выделения тепла и т. п., действительная работа внешних сил A равна и противоположна по знаку действительной работе внутренних сил W, что является выражением закона сохранения энергии:

A + W = 0 или

A = - W. (7.6)

Можно сказать, что работа, произведенная внешними силами, накапливается (аккумулируется) в упругом теле в виде энергии деформаций. Поэтому работа внутренних сил W, взятая с обратным знаком и характеризующая эту энергию, носит название потенциальной энергии деформаций упругой системы U.

U = A = - W. (7.7)

Действительная работа внутренних сил.

Для определения действительной работы внутренних сил (потенциальной энергии деформаций) выделим из заданной системы бесконечно малый элемент длиной dx (рис. 7.10, а) и приложим к нему усилия M, Q N, действующие на него со стороны отброшенных частей системы, и рассмотрим вызванные этими усилиями деформации (рис. 7.10. б).

Действительная работа внутренних усилий элемента, равных по величине и обратных по знаку усилиям M, Q N, составит:

Знак «минус» объясняется здесь тем, что направление внутренних усилий элемента dx противоположно направлению его деформаций, в результате чего работа внутренних сил при загружении упругого тела всегда отрицательна.

Величины деформаций элемента определяются в соответствии с законом Гука по формулам

(7.8)

где E и G – модули упругости материала соответственно 1 –го и 2- го рода, I и A – соответственно момент инерции и площадь поперечного сечения рассматриваемого стержня,  - коэффициент, учитывающий форму сечения стержня.

Суммируя элементарные работы по длине стержня, а затем по всем стержням системы, окончательно для работы внутренних сил системы получим:

(7.9)

Анализируя выражение (7.9), можно прийти к заключению, что потенциальная энергия деформации U = - W (см. выражение 7.7) всегда положительна, так как она выражается через квадраты внутренних усилий. По этой причине к вычислению потенциальной энергии неприложим принцип независимости действия сил, т. е. потенциальная энергия, вызванная действием группы сил, не равна сумме потенциальных энергий, вызванных каждой из сил в отдельности. Наконец, можно видеть, что в упругой системе суммарная работа внутренних (а также и внешних) сил определяется лишь конечным состоянием системы и не зависит от того, каким способом она пришла в это состояние (так как от этого не зависят значения M, Q, N).

Возможная работа внутренних сил.

Рассмотрим упругую систему, нагруженную произвольной нагрузкой (рис. 7.11,а). Будем считать такое нагруженное состояние 1-м. На некоторый элементарный участок этой системы dx в общем случае будут действовать внутренние усилия N₁, Q₁, M₁.

Пусть та же упругая система нагружена другой нагрузкой, т. е. находится во 2-м состоянии (рис. 11,б). На тот же элементарный участок будут действовать свои внутренние усилия N₂, Q₂, M₂.

Элементарный участок dх при этом получит от внутренних усилий соответствующие перемещения:

которые для системы в 1-м состоянии будут возможными перемещениями.

Работа сил первого состояния N₁, Q₁, M₁ на возможных перемещениях __x2, _x2 будет возможной работой внутренних сил, которую можно записать как:

. (7.10)

Если за исходную принять 1-ю систему, то получим

.

Очевидно, что выполняется теорема Бетти о взаимности возможных работ (7.4).

W₂₁ = W₁₂.