6.2 Расчет арок на подвижную нагрузку

6.2.1 Линии влияния опорных реакций

Для определения вида линии влияния реакции R_А составим следующее уравнение равновесия m_B = 0,

R_А∙l – P(l – x) = 0.

Тогда линия влияния левой реакции

л. в. R_А = . (6.6)

Выражение для линии влияния реакцию R_Вопределим из уравнения m_A = 0,

R_В∙l – P∙ x = 0.

В результате:

л. в. R_В = . (6.7)

Линии влияния реакций R_А и R_В показаны на рис. 6.8.

Отметим, что линии влияния вертикальных реакций в арке те же, что и в однопролетной балке и в ферме.

Поскольку выражение горизонтальной реакции (распора) связано со значением балочного изгибающего момента в точке С , его линия влияния будет иметь две ветви.

Пусть сила Р = 1 находится справа от точки С. Рассмотрим равновесие левой части арки.

, R_А∙l₁ – H∙f = 0. Откуда

. (6.8)

Получили уравнение правой ветви линии влияния H.

Аналогично получим уравнение левой ветви - сила Р = 1 слева от точки С. , R_В∙l₂ - H∙f = 0. Тогда

. (6.8)

Линия влияния Н показана на рис. (6.8).

6.2.2 Построение линии влияния изгибающего момента

Воспользуемся выражением (6.2) для изгибающего момента в арке

M_к = M_к^б – Н∙у_к.

Очевидно, что справедливо следующее утверждение

л.в. M_к = л.в. M_к^б – (л.в. Н)у_к,

то есть линию влияния момента в арке можно построить методом наложения двух линий влияния - M_к^б и Н∙у_к. Поступаем следующим образом.

1. Вверх от оси строим линию влияния M_к^б (на рис. 6.9 показана сплошной линией).

2. На той же оси откладываем ординаты линии влияния Н, умноженные на координату точки «к» у_к(пунктирная линия). Для этого достаточно построить левую ветвь л.в. Н, умножив ее ординаты на у_к, Правая ветвь будет представлена прямой, соединяющей конец левой ветви (проекция т. С) с нулевой точкой на правой опорной вертикали (проекция т. В).

3. В результате получаем разность ординат линий влияния M_к^б и Ну_к (заштрихованная область на рис. 6.9 и представляет собой линию влияния M_к).

Точка F′ – нулевая точка линии влияния M_к.

Положение нулевой точки F′ можно найти графическим построением на чертеже арки (графически). Нулевое значение M_к получается при положении единичной силы в интервале между сечением «к» и ключевым шарниром С. Так как единичная сила приложена к левому диску арка, линия действия правой реакции В должна проходить через центр ключевого шарнира, поскольку .

Поскольку единичная сила правее сечения «к», то для выполнения условия, что M_к = 0, реакция А должна действовать по линии Ак. Проводим линии Ак и ВС, под точкой пересечения которых и находится нулевая точка F′.

Для построения линии влияния M_к способом нулевой точки откладываем на левой опорной вертикали ординату 1∙а_к, далее соединяем ее с нулевой точкой F′ - получаем 1-ю правую ветвь. Проводя вертикаль через шарнир С получаем границу 1-й и 2-й правых ветвей (то есть правая ветвь представляет собой ломаную линию). Левую ветвь находим по 1-й правой ветви, соединяя ее начало с левой опорной точкой.

Ординату нулевой точки можно определить аналитически. Она равна (без вывода)

(6.9)