31. Общие принципы использования избыточности в блоковых кодах.

Способность кода обнаруживать и исправлять ошибки обусловлена наличием избыточных символов. На вход кодирующего устройства поступает последовательность из k информационных двоичных символов. На выходе ей соответствует последовательность из n двоичных символов, причем n > k.

Всего может быть 2^k различных входных и 2ⁿ различных выходных последовательностей. Из общего числа 2ⁿ выходных последовательностей только 2^k последовательностей соответствуют входным. Назовем их разрешенными кодовыми комбинациями. Остальные 2ⁿ – 2^k возможных выходных последовательностей для передачи не используются. Назовем их запрещенными комбинациями.

Рис. 4.2

Искажение информации в процессе передачи сводится к тому, что некоторые из переданных символов заменяются другими – неверными. Так как каждая из разрешенных комбинаций в результате действия помех может трансформироваться в любую другую, то всего имеется 2^k · 2ⁿ возможных случаев передачи (рис. 4.2). В это число входят:

• 2^k случаев безошибочной передачи (на рис. 4.2 обозначены жирными линиями);

• 2^k(2^k – 1) случаев перехода в другие разрешенные комбинации, что соответствует необнаруживаемым ошибкам (на рис. 4.2 обозначены пунктирными линиями);

• 2^k(2ⁿ – 2^k) случаев перехода в неразрешенные комбинации, которые могут быть обнаружены (на рис. 4.2 обозначены тонкими сплошными линиями).

Следовательно, часть обнаруживаемых ошибочных кодовых комбинаций от общего числа возможных случаев передачи составляет:

2^k(2ⁿ – 2^k) ⁄ (2^k · 2ⁿ) = 1 – 2^k ⁄ 2ⁿ.

Пример 1

Определим обнаруживающую способность кода, каждая комбинация которого содержит всего один избыточный символ (n = k + 1). Общее число выходных последовательностей составляет 2^k+1, т.е. вдвое больше общего числа кодируемых входных последовательностей. За подмножество разрешенных кодовых комбинаций можно принять, например, подмножество 2^k комбинаций, содержащих четное число единиц (или нулей).

При кодировании к каждой последовательности из k информационных символов добавляется один символ (0 или 1) такой, чтобы число единиц в кодовой комбинации было четным. Искажение любого нечетного числа символов переводит разрешенную кодовую комбинацию в подмножество запрещенных комбинаций, что обнаруживается на приемной стороне по нечетности числа единиц. Часть опознанных ошибок составляет:

1 – 2^k ⁄ 2^{k + 1} = 1 ⁄ 2.

Рассмотрим случай исправления ошибок. Любой метод декодирования можно рассматривать как правило разбиения всего множества запрещенных кодовых комбинаций на 2^k непересекающихся подмножеств M_i, каждое из которых ставится в соответствие одной из разрешенных комбинаций. При получении запрещенной комбинации, принадлежащей подмножеству M_i, принимают решение, что передавалась разрешенная комбинация A_i. Ошибка будет исправлена в тех случаях, когда полученная комбинация действительно образовалась из A_i, т. е. в 2ⁿ – 2^k случаях.

Всего случаев перехода в неразрешенные комбинации 2^k(2ⁿ – 2^k). Таким образом, при наличии избыточности любой код способен исправлять ошибки. Отношение числа исправляемых кодом ошибочных кодовых комбинаций к числу обнаруживаемых ошибочных комбинаций равно.

(2ⁿ – 2^k) ⁄ [2^k(2ⁿ – 2^k)] = 1 ⁄ 2^k.

Способ разбиения на подмножества зависит от того, какие ошибки должны исправляться данным конкретным кодом.

Большинство разработанных до настоящего времени кодов предназначено для корректирования взаимно независимых ошибок определенной кратности и пачек (пакетов) ошибок.

Взаимно независимыми ошибками будем называть такие искажения в передаваемой последовательности символов, при которых вероятность появления любой комбинации искаженных символов зависит только от числа искаженных символов r и вероятности искажения одного символа р.

Кратностью ошибки называют количество искаженных символов в кодовой комбинации.

При взаимно независимых ошибках вероятность искажения любых r символов в n-разрядной кодовой комбинации:

P_n(r) = C_n^r· p^r(1 – p)^{n – r}.

Если учесть, что р << 1, то в этом случае наиболее вероятны ошибки низшей кратности. Их и следует обнаруживать и исправлять в первую очередь.

Следует учесть, что

,

а P_n(r) представляет собой гипергеометрическое распределение при r = 1, 2, ... n.