15. Корреляционный критерий дискретизации.

Отличительные свойства непрерывного сигнала в модели Железнова Н.А. следующие:

• спектр сигнала сплошной и отличен от нуля на всей оси частот;

• сигнал имеет конечную длительность;

• рассматриваемые сигналы могут быть представлены как стационарными, так и нестационарными случайными функциями;

• функция корреляции равна нулю вне интервала корреляции .

Длительность сигнала Т должна быть во много раз больше :

Т >> .

Неограниченность спектра и конечная длительность сигнала являются большими преимуществами этой модели: она в большей степени соответствует свойствам реальных сигналов, чем модель В.А. Котельникова.

Единственным ограничением в этой модели является ограничение функции корреляции, которая имеет вид, показанный на рисунке.

Рис. 9.6

Это означает, что соседние значения функции отсчитанные через промежуток времени больший, чем , могут считаться независимыми.

.

Для стационарных случайных сигналов, обладающих перечисленными выше свойствами Н.А. Железновым было показано, что они могут быть представлены системой линейного прогнозирования со среднеквадратичной ошибкой , как угодно мало отличающейся от нуля, лишь в промежутке времени, равном интервалу корреляции .

Таким образом, для непрерывного сигнала конечной длительности Т (при условии, что T >> ) число некоррелированных отчётов не превышает величины N.

.

Следовательно, дискретизация непрерывной функции с интервалом обеспечивает возможность безошибочного восстановления значений непрерывной функции внутри интервалов с помощью системы линейного прогнозирования.

Интервал корреляции для реальных сигналов определяется следующим образом.

Вводится понятие эффективной полосы частот сигнала

,

где N_Xmax – максимальное значение спектральной плотности мощности сигнала.

,

а

.

Δω_эфф = 2πΔƒ_эфф – эффективная полоса частот сигнала.

Графически эффективная полоса частот представляет собой основание прямоугольника с высотой N_max и площадью, равной площади, ограниченной кривой спектральной плотности мощности сигнала и осью ординат.

Рис. 9.7

.

16. Адаптивные методы дискретизации.

На каждом интервале дискретизации находится некоторая функция y_j(t) выбранного типа в предположении, что она наилучшим образом (в смысле выбранного показателя качества) будет отображать функцию x(t) на этом интервале .

Указанное условие проверяется и, если необходимо и возможно, то находится новая функция, наилучшим образом воспроизводящая функцию x(t).

На интервале регистрируются отсчёты значений функции x_j(t) или некоторые характеристики функции y_j(t) – например, коэффициенты разложения, по которым можно восстановить исходную функцию с погрешностью, не превышающей допустимую.

Рассмотрим в качестве воспроизводящих функций функции нулевой и первой степеней.

Нулевая степень воспроизводящей функции

Воспроизводящая функция y(t) на отрезке выбирается следующим образом:

Рис. 9.15

• y(t_i) = x(t_i);

• вычисляем разность Δ = x(t) – y(t_i) = x(t) – x(t_i);

• сравниваем Δ с ε;

• t_{i + 1} – момент времени, когда |Δ| = ε;

• y(t_{i + 1}) = x(t_{i + 1}) и т.д.