32. Линейная интерполяция данных в Scilab

Задача интерполяции В интервале [a,b] заданы n+1 опорных (узловых) точек a<=x0<=x1<=...<=xn<=b. Заданы n+1 значений yi, соответствующих значению функции yi=f(xi) в узловых точках. Необходимо найти многочлен In(x) степени не больше n такой, что In(xi)= yi для любого 0<=i<=n. Всегда имеется только один интерполяционный многочлен. Интерполяцию применяют для того, чтобы вычислить значения функции между узловыми точками (интерполяция) или за интервалом узловых точек (экстраполяция). Интерполяция на больших интервалах (т. е. с относительно небольшим количеством узловых точек) имеет дополнительные трудности: 1) точность при больших расстояниях между узловыми точками очень мала 2) интерполяционные многочлены высокого порядка на концах интервала значительно колеблются, что существенно искажают поведение функции, что особенно важно при последующем дифференцировании.

Как осуществить линейную интерполяцию?

С помощью команды interpln

Синтаксис [y]=interpln(xyd,x)

Параметры

xyd : двухстрочная матрица (xy координаты точек)

x : вектор (абсцисса)

y : вектор (значения по оси y)

Команда interpln интерполирует функцию в интервалах между дискретными узлами,

заданных с помощью матрицы xyd с помощью отрезков прямой и возвращает значение

интерполирующей ломаной в дискретных точках, заданных вектором x.

Пример. x=[1 10 20 30 40];

y=[1 30 -10 20 40];

xyd=[x;y]

Результат:

xyd =

! 1. 10. 20. 30. 40. !

! 1. 30. - 10. 20. 40. !

plot2d(x',y',[-3],"011"," ",[-10,-40,50,50]);

x_new=(-4:45);

yi=interpln(xyd,x_new);

plot2d((-4:45)',yi',[3],"000");

Результат:

Будут определены значения интерполирующей функции в 50 точках от x=-4 до x=50 с

шагом 1.

3

Можно найти интерполяционное значение функции в дискретной точке:

z=interpln(xyd,10.5); Результат: z= 28.

Замечание: С помощью команды interpln (хотя она и называется командой

интерполяции) можно провести экстраполяцию данных и для значений x, лежащих вне

интервала, заданного первой строкой матрицы xyd, но достоверность такой интерполяции

очевидно невелика.

33. Сплайновая интерполяция данных в Scilab

Сплайн– гладкая кривая, проходящая через задан­ные точки (хi, yi), i = 0, 1, ... , п. Интерполяция сплай­нами заключается в том, что на каждом отрезке [хi-1, xi]используется многочлен определенной степени. Наиболее часто применяется многочлен третьей степени, реже – второй или четвертой. При этом для определения коэффициентов многочленов используются условия непре­рывности производных в узлах интерполяции.

Интерполяция кубическими сплайнамипредставляет собой локальную интерполяцию, когда на каждом отрез­ке [хi-1, xi], i = 1, 2, ... , п применяется кубическая кри­вая, удовлетворяющая некоторым условиям гладкости, а именно, непрерывности самой функции и ее первой и вто­рой производных в узловых точках. Использование куби­ческой функции вызвано следующими соображениями. Если предположить, что интерполяционная кривая соот­ветствует упругой линейке, закрепленной в точках (хi, yi),то из курса сопротивления материалов известно, что эта кривая определяется как решение дифференциального уравнения f(IV)(x) = 0 на отрезке [хi-1, xi](для простоты из­ложения мы не рассматриваем вопросы, связанные с физи­ческими размерностями). Общим решением такого уравне­ния является многочлен 3-й степени с произвольными коэффициентами, который удобно записать в виде

Si(x) = аi + bi(х - xi-1) + сi(x - xi-1)2+ di(x - xi-1)3,

хi-1 £ х £ хi, i = 1, 2, ... , п.(4.32)

Коэффициенты функций Si(x)определяются из усло­вий непрерывности функции и ее первой и второй произ­водных во внутренних узлах xi, i = 1, 2,..., п - 1.

Из формул (4.32) при х = хi-1 получим

Si(xi-1) = yi-1 = ai, i = 1, 2,..., п,(4.33)

а при х = хi

Si(xi) = аi + bihi + сihi2+ dihi3,(4.34)

i = 1, 2,..., n.

Условия непрерывности интерполяционной функции записываются в виде Si(xi) = Si-1(xi), i = 1, 2, ... , n - 1 и из условий (4.33) и (4.34) следует, что они выполнимы.

Найдем производные функции Si(x):

S'i(x) = bi + 2сi(х - xi-1) + 3di(х – xi-1)2,

S"i(x) = 2ci + 6di(x - xi-1).

При x = xi-1, имеем S'i(xi-1) = bi, S" (xi-1) = 2сi, а при х = хi получим

S'i(xi) = bi + 2сihi + 3dihi2, S" (xi) = 2сi + 6dihi.

Условия непрерывности производных приводят к уравнениям

S'i(xi) = S'i+1(xi) Þ bi + 2сihi + 3dihi2 = bi+1,

i = l, 2,... ,п - 1. (4.35)

S"i (xi) = S"i+1(xi) Þ 2сi + 6dihi = 2ci+1,

i = l, 2,..., n - 1. (4.36)

Всего имеем 4n – 2 уравнений для определения 4n не­известных. Чтобы получить еще два уравнения, исполь­зуют дополнительные краевые условия, например, требо­вание нулевой кривизны интерполяционной кривой в концевых точках, т. е. равенства нулю второй производ­ной на концах отрезка [а, b] а = х0, b = хn:

S"1(x0) = 2c1 = 0 Þ с1 = 0,

S"n(xn) = 2сn + 6dnhn = 0 Þ сn + 3dnhn = 0. (4.37)

Систему уравнений (4.33)–(4.37) можно упростить и получить рекуррентные формулы для вычисления коэф­фициентов сплайна.

Из условия (4.33) имеем явные формулы для вычисле­ния коэффициентов ai:

ai = yi-1, i= 1,..., n. (4.38)

Выразим di через ci с помощью (4.36), (4.37):

; i = 1, 2,...,n; .

Положим сn+1= 0, тогда для di получим одну формулу:

, i = 1, 2,...,n. (4.39)

Подставим выражения для аi и di в равенство (4.34):

, i = 1, 2,..., n.

и выразим bi, через сi:

, i = 1, 2,..., n. (4.40)

Исключим из уравнений (4.35) коэффициенты bi и di с помощью (4.39) и (4.40):

,

i = 1, 2,..., n -1.

Отсюда получим систему уравнений для определения сi:

(4.41)

Система уравнений (4.41) может быть переписана в виде

(4.42)

Здесь введено обозначение

, i =1, 2,..., n - 1.

Решим систему уравнений (4.42) методом прогонки. Из первого уравнения выразим с2через с3:

c2 = a2c3 + b2, , . (4.43)

Подставим (4.43) во второе уравнение (4.42):

h2(a2c3 + b2) + 2(h2 + h3)c3 + h3c4 = g2,

и выразим с3 через с4:

с3 = a3с4 + b3, (4.44)

Предполагая, что сi-1= ai-1ci + bi-1 из i-го уравне­ния (4.42) получим

ci = aiсi+1 + bi

, i = 3,..., n – 1, an = 0, (4.45)

, i = 3,..., n.

Сформулируем алгоритм интерполяции с помощью кубического сплайна.

Исходные данные: значения функции у0, у1,..., уп в узлах х0, х1,..., хп (х0 < х1< ... < хn).

0. Вычислим значения hi и gi:

hi = xi – xi-1 i = 1, 2,..., n,

, i =1, 2,..., n - 1. (4.46)

1. Прямой ход прогонки для вычисления коэффици­ентов ci. Вычислим коэффициенты прогонки ai и bi:

, ,

, i = 3,..., n – 1, an = 0, (4.47)

, i = 3,..., n.

2. Обратный ход прогонки для вычисления коэффици­ентов сi. Вычислим коэффициенты ci:

cn+1 = 0,

ci = aiсi+1 + bi, i = n, n -1,..., 2, (4.48)

c1 = 0.

3. Вычисление коэффициентов аi, bi, di:

ai = yi-1,

, (4.49)

i = 1, 2,..., n.

4. Вычисление значения функции с помощью сплай­на. Для этого найти такое значение i,что данное значе­ние переменной х принадлежит отрезку [xi-1, xi] и вы­числить

Si(x) = аi + bi(х - xi-1) + сi(x - xi-1)2+ di(x - xi-1)3. (4.50)