3 Частные случаи уравнения теплопроводности

1. Распространение тепла без тепловыделения. Если внутри рассматриваемой области нет источников тепла, т.е. f = 0, то уравнение (6) принимает более простой вид:

(7)

Уравнение (7) называется уравнением свободного теплообмена.

2. Установившийся поток тепла. Для стационарного процесса теплообмена, т.е. когда температура в каждой точке тела не меняется со временем ( , уравнение приобретает форму уравнения Пуассона:

Δu = -ρ, (8)

где ρ

3. Установившийся поток тепла без тепловыделения. В этом случае и f = 0, поэтому распределение температуры подчиняется уравнению Лапласа:

Δu = 0 (9)

С помощью уравнения (9) можно ответить на вопрос: каково должно быть распределение температуры u = u (x, y, z) внутри тела, чтобы дальнейшего теплообмена не происходило. Поясним: последнее возможно, если на границе области поддерживать постоянную температуру (различную в различных точках границы). Но это уже связано с вопросом о граничных и начальных условиях, к которому мы и переходим.

4 Начальное и граничные условия

Чтобы определить температуру внутри тела в любой момент времени, недостаточно одного уравнения (6). Необходимо, как следует из физических соображений, знать еще распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие) и тепловой режим на границе тела (граничное условие).

Начальное условие в отличие от уравнения гиперболического типа задается только одно, т.к. исходное уравнение содержит лишь первую производную по времени.

Граничные или краевые условия могут быть различны в зависимости от температурного режима на границе тела. Основными видами тепловых режимов являются следующие: I – на границе поддерживается определенная температура; II – на границу подается определенный тепловой поток; III – происходит теплообмен с внешней средой, температура которой известна. Им соответствуют граничные условия первого, второго, третьего рода.

Сформулируем прежде условия для одномерного уравнения теплопроводности.

Начальное условие состоит в задании функции u = u (x, t) в начальный момент времени (t = 0):

u (x,0) = (10)

Выведем граничные условия в случаях I – III.

1. На концах стержня (или на одном конце) задается температура

(t) (11)

где - функции, заданные в некотором промежутке причем T есть промежуток времени, в течении которого изучается процесс. В частности, т.е. на концах поддерживается постоянная температура и .

2. На одном из концов (или на обоих) задано значение производной искомой функции. Например, для сечения x = 0

(12)

Дадим физическое толкование этому условию. Пусть t) – величина теплового потока, т.е. количество тепла, протекающего через торцевое сечение x = 0 в единицу времени. Тогда уравнение теплового баланса для элемента стержня (0; Δx) в период времени t, как и при выводе уравнения (4) запишется в виде

Сократив на Δt и перейдя к пределу при Δx 0 , получим

Таким образом, имеем условие (12), в котором известная функция выражающаяся через заданный поток тепла по формуле

Аналогично для сечения x = 1 через которое протекает количество тепла , найдем

Следовательно, условие или имеет место в случае, когда на соответствующем конце стержня задан тепловой поток, втекающий или вытекающий. В частности, если концевое сечение теплоизолировано, то (t) = 0 или (t) = 0 , и следовательно,

= 0 или

3. На одном из концов (или на обоих) задается линейное соотношение между функцией и ее производной. Например, для сечения x =l

(13)

Условие типа (13) используется в случае процесса теплоотдачи, т.е. переноса тепла от тела к окружающей среде. Закон теплообмена сложен; но для упрощения задачи он может быть принят в виде закона Ньютона. Согласно эмпирическому закону Ньютона количество тепла, отдаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, температура которой известна, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды:

q =α(u –θ),

где α - коэффициент теплообмена (или внешней теплопроводности).

Можно определить тепловой поток через сечение стержня, воспользовавшись двумя выражениями в cилу закона сохранения энергии.

Согласно закону Ньютона тепловой поток q(t), вытекающий через сечение

x = l , равен

q =α(u(l, t) –θ(t)).

С другой стороны, такой же тепловой поток должен подводиться изнутри путем теплопроводности. Поэтому согласно закону Фурье

Приравнивая правые части этих выражений, найдем

Отсюда получаем математическую формулировку условия в виде

, .

Заметим, что граничные условия, наложенные на значения функции u (x t), называют условиями первого рода. Граничные условия, наложенные на значение производной называют условиями второго рода. А условия, наложенные как на значение функции u (x, t), так и на значение производной , называют условиями третьего рода.

В случае граничных условий вида (11), (12), (13) говорят соответственно о первой, второй, третьей краевых задачах для уравнения теплопроводности. Начальное условие для всех указанных краевых задач остается тем же самым и дается равенством (10).

Так, первая краевая задача состоит в отыскании решения u = u (x, t) уравнения

при 0<x<l, 0<t T

удовлетворяющего условиям

u(x,0) = 0<x<l,

u(0, t) = , 0<t T

Аналогично ставятся другие краевые задачи с различными комбинациями граничных условий при x = 0 и x = l.