2 Вывод уравнения теплопроводности для одномерного случая

Рассмотрим однородный стержень длины l, теплоизолированный с боков (через поверхность не происходит теплообмена с окружающей средой) и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой. Расположим ось Ox так, чтобы один конец стержня совпадал с точкой x = 0, а другой - с точкой x = l (рис. 1).

Рисунок - 1

Чтобы найти функцию uux, t, надо составить дифференциальное уравнение, которому она удовлетворяет.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности воспользуемся следующими физическими закономерностями, связанными с распространением тепла.

1. Количество тепла Q, которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на u , равно

ΔQ = cmΔu,

где c - удельная теплоемкость, m - масса тела.

Для стержня имеем

ΔQ = cρSΔxΔu, (1)

где ρ - плотность материала стержня; S - площадь его поперечного сечения.

2. Перенос тепла в теле подчиняется эмпирическому закону Фурье количество тепла ΔQ, протекающее за время Δt через площадку ΔS в направлении нормали к этой площадке, равно

где k - коэффициент внутренней теплопроводности (зависит от точки и не зависит от направления, если тело изотропно).

Для стержня имеем

, (2)

где коэффициент k будем считать постоянным в силу предположения о его однородности. Если стержень неоднороден, то k = k(x).

3. Если внутри тела есть источники тепла, то выделение тепла можно характеризовать плотностью тепловых источников, т.е. количеством выделяемого (или поглощаемого) тепла в единицу времени в единице объема.

Обозначим через F (x, t), плотность источников в точке x рассматриваемого стержня в момент t. Тогда в результате действия этих источников на участке (x, x +Δx) за промежуток Δt будет выделено количество тепла

(3)

И, наконец, воспользуемся законом сохранения энергии.

Итак, приступим к выводу уравнения. Выделим элементарный участок стержня, заключенный между сечениями x = x₁ и x = x₂ (x₂ - x₁ = Δx), и составим уравнение теплового баланса на отрезке [x₁, x₂]. Так как боковая поверхность стержня теплоизолирована, то элемент стержня может получать тепло только через поперечные сечения. Согласно (2) количество тепла, прошедшее через сечение x = x1, равно

через сечение x = x₂:

Найдем приток тепла в элемент стержня:

(К разности частных производных применена теорема Лагранжа).

Кроме того, в результате действия внутренних источников тепла на этом участке в течение времени Δt выделится количество тепла согласно (3)

Все тепло за время Δt пойдет на изменение температуры выделенного элемента стержня на величину Δu .И поэтому сообщенное количество тепла ΔQ , с другой стороны, может быть найдено согласно формуле (1):

В силу закона сохранения энергии имеем равенство

Сокращая на общий множитель SΔxΔt , получим уравнение

Введя обозначения , придем к уравнению

(4)

Это и есть искомое дифференциальное уравнение распространения тепла в однородном стержне. Уравнение (4) называют уравнением теплопроводности, в котором постоянную a² температуропроводности. Коэффициент a² называют коэффициентом имеет размерность м² /с.

Уравнение (4) является линейным неоднородным уравнением параболического типа.

Вывод дифференциального уравнения распространения тепла внутри тела, отнесенного к пространственной системе координат, основан на тех же физических законах. Поэтому, ограничившись выводом уравнения для простейшего случая – одномерного, лишь приведем уравнение для трехмерного пространства.

Процесс распределения температуры u = u (x, y, z, t) в изотропном теле описывается уравнением

которое кратко записывается так:

(6)

где - оператор Лаплас